Сечение составной сварной двутавровой балки

Таким образом, задача состоит в том, чтобы при заданном W_тp найти такое F, зависящее от высоты к и толщины δ стенки, при котором практически обеспечивалась бы устойчивость стенки и тем самым определилось бы наивыгоднейшее распределение материала между стенкой и полками.

Введем следующие понятия: гибкость стенки (отношение высоты стенки к ее толщине)

и коэффициент распределения площади сечения балки

Обозначим через F площадь сечения сварной двутавровой балки, тогда площадь сечения одного пояса

 

Пренебрегая из-за малости моментами инерции поясов относительно их собственной оси, а также отождествляя высоту стенки с высотой балки, можно с достаточной точностью выразить момент сопротивления балки, следующим образом:

Подставив в формулу значение δ = h/K, найдем

Взяв первую производную по высоте и приравняв ее нулю (при выбранной постоянной гибкости К)

получим оптимальную высоту симметричного сечения балки¹

или, подставляя К = h/δ:

Задавшись гибкостью стенки и найдя в зависимости от нее оптимальную высоту балки, мы тем самым устанавливаем и наилучшее распределение материала по сечению. В симметричной двутавровой балке при оптимальной высоте материал распределяется поровну между стенкой и поясами (α = 0,5). Это получается из dW/dα = 0 при W = √F³ √αK (1/2 — α/3).

Таким образом, при заданном моменте сопротивления W_тр минимальная площадь сечения получится при оптимальной высоте в зависимости от выбранной гибкости стенки К и коэффициента распределения площади сечения α.

Всякое отклонение от величины φ = 0,5 (при постоянном К) ведет к увеличению площади сечения, а увеличение К (при постоянном α = 0,5) ведет к уменьшению площади сечения. Учитывая, что всякая функция имеет малые отклонения около своего минимума, рационально принимать высоту несколько ниже оптимальной (если это возможно по условию прогиба).

Так, в случае отклонения от оптимальной высоты на величину до 10%, но при сохранении назначенного значения K = h/δ, площадь сечения увеличивается примерно до 1,5%; при отклонении от оптимальной высоты на 20% площадь сечения увеличивается на 5 — 6%.

Для балок, в которых высота по условию жесткости или другим причинам принимается иной, чем оптимальная, найденная при α = 0,5, коэффициент распределения материала по сечению α можно определить [учитывая формулу (21.VI)] по формуле

Высоту составных балок рекомендуется принимать в круглых числах, кратных 50 мм.

Обычно минимальную толщину стенки принимают равной δ = 8 мм, хотя в отдельных случаях можно назначать и толщину 6 мм. Последующее увеличение толщины стенки принимают с градацией в 2 мм.

Практикой проектирования установлены соотношения K = h/δ, приведенные в таблице.

Таблица практических значений К

h в м	0,8		1,25	1,5	1,75		2,5
δ в мм	8 — 6	10 — 8			14 — 12		16 — 14	18 — 16		24 — 22
К	100 — 133	100 — 125			125 — 146		156 — 17	166 — 187		208 — 227

Толщина стенки может быть также определена по эмпирической формуле, хорошо отражающей увеличение К с увеличением высоты балки:

где δ в мм, а h в м.

Назначение минимальной толщины стенки по условиям прочности (при действии максимальной поперечной силы Q) производится только в коротких и высоких балках (при h > ¹/₅l) а именно

где Q — наибольшая поперечная сила (опорная реакция); R_ср — расчетное сопротивление стали срезу. Эта формула получена из условия восприятия касательных напряжений только стенкой балки.

Пример 4.Требуется найти оптимальную высоту балки пролетом L = 12 м, нагруженной равномерно распределенной полезной нагрузкой q₀ = 16 т/м; коэффициент перегрузки полезной нагрузки n = 1,3; материал Ст. 3; заданный относительный прогиб 1/n₀ = 1/600; коэффициент условий работы m = 1.

Решение.Определяем по таблице Отношения минимальной высоты сечения балки к пролету в зависимости от прогиба (для балок из стали марки Ст. 3) минимальную высоту сечения из условия обеспечения жесткости

Собственный вес балки принимаем равным 0,3 т/м (по аналогичным проектам).

Полная расчетная нагрузка на балку будет равна

Здесь 1,1 — коэффициент перегрузки постоянной нагрузки. Максимальный расчетный момент в середине пролета

Требуемый момент сопротивления

Выбираем по таблице К = 125 и определяем оптимальную высоту из условия экономии металла по формуле (22.VI)

При K = 125 толщина стенки равна

 

Назначаем высоту балки h = 1500 мм и толщину стенки δ_ст = 12 мм.