МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
4.1 Масса молекулы:
,
где m - молярная масса; NA – число молекул в одном моле.
4.2. Уравнение состояния идеального газа:
,
где Р – давление газа; V – объем, занимаемый газом; m – масса газа; - количество вещества (число молей n); R – универсальная газовая постоянная
( ).
4.3. Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:
,
где k – постоянная Больцмана (k=1,38 Дж/К); i – число степеней свободы молекулы. Здесь мы будем рассматривать только молекулы с жёсткой связью, поэтому i =3 (одноатомный газ), i =5 (двухатомный газ), i =6 (трёх и более атомный газ).
4.4. Основное уравнение кинетической теории газов:
,
где n – число молекул в единице объема; m0 – масса молекулы; - средняя квадратичная скорость молекул; <Е 0 пост> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы .
4.5. Характерные скорости молекул:
· средняя квадратичная = ;
· средняя арифметическая = ;
· наиболее вероятная = .
4.6. Закон Дальтона для смеси идеальных газов:
,
где Р – давление смеси; - парциальное давление i – го компонента смеси, т.е. давление, которое оказывает на стенки сосуда каждый из компонентов смеси в отдельности, если бы он занимал объем, равный объему смеси при температуре смеси.
4.7. Внутренняя энергия идеального газа массой m при температуре Т:
.
4.8. Молярная теплоемкость газа:
· при постоянном объеме ;
· при постоянном давлении .
4.9. Связь между молярной и удельной теплоемкостями:
,
где Сμ – молярная теплоемкость; Суд – удельная теплоемкость.
4.10. Теплоемкость тела (газа):
4.11. Первое начало термодинамики:
,
где Q - количество теплоты, сообщенное системе (телу); - изменение внутренней энергии системы; A – работа, совершаемая системой против внешних сил.
4.12.Работа газа при изменении его объема от V1 до V2:
.
4.13. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам :
· изобарный процесс (р = const),
, ;
· изохорический процесс (V = const),
, ;
· изотермический процесс (T = const),
, ;
· адиабатный процесс,
, (адиабатное расширение)
(адиабатное сжатие)
4.14. Уравнение Пуассона для адиабатного процесса:
; ; ,
где - показатель адиабаты .
4.15. КПД тепловой машины:
,
где Q1 – количество теплоты, получаемое рабочим телом; Q2 - количество теплоты, отдаваемое телом; A – полезная работа, совершаемая рабочим телом.
4.16. Цикл Карно, КПД цикла Карно.
Цикл Карно – обратимый круговой процесс ,состоящий из двух изотерм и двух адиабат (рис.7), его КПД определяется только температурами нагревателя Т1 и холодильника Т2:
.
4.17. Средняя длина свободного пробега молекулы газа:
, Рис.7
где d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул, <z> – среднее число столкновений молекулы в единицу времени.
4.18. Явления переноса.
· Диффузия, закон Фика:
,
где - масса, переносимая через площадку S , перпендикулярную оси х за время Δt (рис.8); - градиент плотности вдоль оси х ; D – коэффициент диффузии.
· Для газов коэффициент диффузии :
.
· Внутреннее трение (вязкость), закон Ньютона:
,
где F – сила трения между движущимися слоями жидкости или газа (рис.9); – градиент скорости,
газа (или жидкости) вдоль оси х ; – коэффициент внутреннего трения (динамической вязкости).
· – коэффициент внутреннего трения для газов:
.
· Теплопроводность, закон Фурье:
æ ,
где - количество теплоты, переносимой через площадку , перпендикулярную оси х, за время Δt; - градиент температуры;æ – коэффициент теплопроводности.
· æ – коэффициент теплопроводности для газов:
æ= .
В формулах коэффициентов переноса:
- средняя арифметическая скорость молекул;
- средняя длина свободного пробега молекул газа;
- плотность газа;
- удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Примеры решения задач.
Пример 5.6 г углекислого газа (CO2) и 5 г закиси азота (N2O) заполняют сосуд объемом 2 м3. Каково общее давление гза в сосуде при температуре 1270 С?
Дано: m1= 6 кг; m2= 5 кг; V= 2 м3; Т= 400 К.
Найти: р.
Решение. В сосуде находится смесь газов. На основании закона Дальтона:
р= р1 + р2, (1)
где р, р1, р2 - соответственно давление смеси и парциальные давления составляющих смесь газов.
Для каждого компонента смеси запишем уравнение Менделеева- Клапейрона:
(2)
(3)
Выразив давления p1 и p2 из уравнений (2), (3) и подставив полученные соотношения в (1), получим искомое давление смеси:
.
Выполним вычисления:
Па.
Ответ: р= 4,2 Па.
Пример 6. Кислород массой 10г находятся под давлением 3 Па при температуре 100С. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем 10 л. Найти: 1) количество теплоты, полученное газом; 2) энергию теплового движения молекул газа до и после нагревания.
Дано: m=10-2 кг; р=3 Па; Т1=283 К; V2=10-2 м3, P = const, μ=32х10-3 кг/моль.
Найти: U1; U2.
Решение.Используем первое начало термодинамики:
(1)
где - изменение внутренней энергии газа ( ); А – работа, совершаемая газом.
Внутренняя энергия идеального газа определяется по формуле:
. (2)
Следовательно, изменение внутренней энергии:
. (3)
Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для состояния газа до и после расширения:
; (4)
. (5)
Разделив уравнение (5) на уравнение (4), получим:
. (6)
Отсюда
. (7)
Объем V1 найдем из уравнения (4):
м3.
Следовательно,
К.
По формуле (2) найдем U1 и U2:
Дж;
Дж.
Работа расширения газа:
Дж
По уравнению (1) найдем Q:
Дж.
Ответ: U1 = 1,8 103 Дж; U2 = 7,5 103 Дж; Q = 8,0 103 Дж.
Пример 6. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения водорода при некоторых условиях равны соответственно: D = 1,42 см2/с и Па×с. Найти число молекул водорода в одном м3 при этих условиях (концентрацию молекул).
Дано: ; .
Найти: n.
Решение. Коэффициент динамической вязкости и коэффициент диффузии определяются формулами:
, (1)
. (2)
Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим:
(3)
Плотность выразим через концентрацию молекул n и массу одной молекулы m0:
(4)
Массу молекулы выразим через молярную массу:
(5) Концентрацию n выразим из соотношения (4), заменив плотность соотношением (3), массу молекулы соотношением (5), получим:
= м-3.
Ответ: 1,8·1025 м-3.