Основные физические величины и законы

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)

, ,

где – масса электрона; – скорость электрона на n-й орбите радиусом ; .

Второй постулат Бора

где – энергия фотона, излученного (поглощенного) при переходе электрона из стационарного состояния с энергией в стационарное состояние с энергией .

Энергия электрона на n-й стационарной орбите для ионизованного атома (лишь один электрон на оболочке)

где – порядковый номер элемента в таблице Менделеева.

Соответственно, для атома водорода

Длины волн , излучаемых атомом водорода при переходе электрона с n-й орбиты на m-ю, определяются (как это и следует из второго постулата Бора) обобщенный сериальной формулой

где – постоянная Ридберга; – определяет спектральную серию ( ; – определяет отдельные линии соответствующей серии ;

– серия Лаймана (ультрафиолетовая область),

– серия Бальмера (видимый свет),

– серия Пашена (инфракрасная область),

– серия Брэкета (инфракрасная область),

– серия Пфунда (инфракрасная область),

– серия Хэмфри (инфракрасная область).

Длина волны (длина волны де Бройля), связанная с движением частицы, обладающей импульсом , выражается формулой

В классическом приближении ( )

где – масса покоя частицы.

В релятивистском случае ( )

Импульс частицы удобно выражать через ее кинетическую энергию :

- в классическом случае ;

- в релятивистском случае ,

где – энергия покоя частицы.

Нейтральный атом и его ядро обозначаются одним и тем же символом

где – обозначение элемента, – порядковый номер (число протонов в ядре, равное числу электронов в электронной оболочке нейтрального атома), – массовое число (число нуклонов-протонов и нейтронов – в ядре, равное округленной до ближайшего целого числа массе атома, выраженной в а.е.м.).

Дефект массы атомного ядра есть разность между суммой масс свободных протонов и нейтронов и массой образовавшегося ядра

или

где – масса атома водорода, – масса рассматриваемого атома.

Энергия связи ядра определяется по общей формуле

Удельная энергия связи .

Энергия ядерной реакции

где и – массы покоя ядра мишени и бомбардирующей частицы; – сумма масс покоя ядер продуктов реакции.

Если , то энергия освобождается, реакция экзотермическая. Если , то энергия поглощается, реакция эндотермическая.

Правила смещения:

- для – распада ;

- для – распада .

Закон радиоактивного распада

где – число нераспавшихся ядер в момент времени ; – начальное число нераспавшихся ядер (при ); – постоянная радиоактивного распада.

Период полураспада – время, за которое число нераспавшихся ядер уменьшается в два раза, связан с постоянной распада

Среднее время жизни радиоактивного изотопа – время, за которое число нераспавшихся атомов уменьшается в раз

Активность изотопа измеряется числом ядер, распавшихся в единицу времени

Число атомов , содержащихся в образце изотопа

где – масса образца; – молярная масса изотопа; – число Авокадро.

Активность образца в начальный момент ( )

Активность образца изменяется со временем по закону

Пример 1.Найти радиус, скорость, кинетическую, потенциальную и полную энергию электрона на пятой стационарной орбите в атоме водорода.

Дано: ; ; ; ;

Найти: .

Решение. Второй закон Ньютона для электрона, движущихся по n-й орбите радиуса под действием кулоновской силы со скоростью и нормальным ускорением принимает вид

или

. (1.1)

Согласно постулату Бора, момент импульса электрона, движущегося по n-й орбите

. (1.2)

Из системы двух уравнений (1.1) и (1.2) находим

где .

Соответственно, радиус пятой орбиты электрона

где .

Соответственно, скорость электрона на пятой орбите

Кинетическая энергия электрона на n – й орбите

где .

Кинетическая энергия электрона на пятой орбите

Потенциальная энергия взаимодействия электрона (заряд ) и ядра атома водорода – протоном (заряд ) на n-й орбите

Потенциальная энергия электрона на пятой орбите

Полная энергия электрона на n-й орбите

Полная энергия электрона на пятой орбите

Пример 2.Определить длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.

Дано: ; ; ; ;

Найти: .

Решение. Связь длины волны де Бройля частицы с ее импульсом

В классическом приближении ( )

В релятивистском случае

где – соответственно масса покоя, кинетическая энергия, энергия покоя частицы.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов , определяется работой электрического поля и равна

а энергия покоя электрона

Итак, в данном случае ( ) имеем дело с релятивистской частицей.

Тогда искомая длина волны де Бройля

Пример 3. В результате соударения дейтрона с ядром бериллия образовались новое ядро и нейтрон. Определить порядковый номер и массовое число образовавшегося ядра, записать ядерную реакцию и определить ее энергетический эффект.

Дано: .

Найти: .

Решение. Из законов сохранения электрического заряда и массовых чисел следует, что , а , то есть образовавшееся в результате ядерной реакции ядро – изотоп бора . Поэтому ядерную реакцию можно записать в виде

Энергетический эффект ядерной реакции

, (1.1)

где в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых – массы ядер продуктов реакции. При расчетах вместо масс ядер используют массы нейтральных атомов, так как, согласно закону сохранения зарядовых чисел, в ядерной реакции (а зарядное число нейтрального атома равно числу электронов в его оболочке) получаются одинаковые результаты.

Массы нейтральных атомов в выражении (1.1)

, , ,

Вычисляя, получим

Энергетический эффект положителен, реакция экзотермическая.

Пример 4.Первоначальная масса радиоактивного изотопа радона (период полураспада ( ) равна . Определить: 1) начальную активность изотопа; 2) его активность через 5 сут.

Дано: , , ,

Найти: .

Решение. Начальная активность изотопа

где – постоянная радиоактивного распада; – число ядер изотопа в начальный момент времени: , где – молярная масса радона ( ); – постоянная Авогадро. Учитывая эти выражения, найдем искомую начальную активность изотопа

Активность изотопа , где, согласно закону радиоактивного распада, – число нераспавшихся ядер в момент времени . Учитывая, что найдем, что активность нуклида уменьшается со временем по закону

Вычисляя, получим

Задачи

6.01. Определить максимальную энергию фотона серии Пашена в спектре излучения атомарного водорода.

6.02. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в первой инфракрасной серии водорода (серия Пашена),

6.03. Определить энергию фотона, испускаемого атомом водорода при переходе электрона со второй орбиты на первую.

6.04. Фотон выбивает из атома водорода, находящегося в основном состоянии, электрон с кинетической энергией . Определить энергию фотона.

6.05. Электрон в атоме водорода находится на втором энергетическом уровне. Определить кинетическую Т, потенциальную П иполную Е энергию электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.

6.06. Вычислить по теории Бора частоту обращения электрона в атоме водорода, находящегося в возбужденном состоянии, определяемом главным квантовым числом .

6.07. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны . Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода.

6.08. В однозарядном ионе электрон перешел со второго энергетического уровня на первый. Определить длину волны излучения, испущенного ионом гелия.

6.09. Вычислить по теории Бора радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на этой орбите для иона Не⁺.

6.10. Определить первый потенциал возбуждения и энергию ионизации , иона Не⁺, находящегося в основном состоянии.

6.11. Сколько длин волн де Бройля уложится на третьей орбите однократно ионизированного возбужденного атома гелия?

6.12. Электрон обладает кинетической энергией . Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия Т электрона возрастает вдвое?

6.13. Определить кинетическую энергию Т электрона, дебройлевская длина волны которого равна комптоновской длине волны .

6.14. Определить длины волн де Бройля электрона и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов .

6.15. Кинетическая энергия Т электрона равна его энергии покоя . Вычислить длину волны де Бройля для такого электрона.

6.16. Электрон обладает кинетической энергией . Определить величину дополнительной энергии , которую необходимо сообщить электрону для того, чтобы дебройлевская длина волны уменьшилась вдвое.

6.17. Определить дебройлевскую длину волны электрона, кинетическая энергия которого .

6.18. Определить скорость электрона, при которой длина волны де Бройля .

6.19. Вычислить длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов , равную: 1) 1 кВ; 2) 1 MB.

6.20. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы дебройлевская длина волны была равна: 1) 1 нм; 2) 1 пм?

6.21. Энергия связи ядра, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, равна . Определить массу нейтрального атома, обладающего этим ядром.

6.22. В ядерной реакции выделяется энергия . Определить массу атома , если масса атома равна .

6.23. Определить массу изотопа , если изменение массы при образовании ядра составляет .

6.24. Какую массу воды можно нагреть от 0⁰ С до кипения, если использовать все тепло, выделяющееся при реакции при полном разложении 1 г лития?

6.25. Определить энергию связи ядер и . Какое из этих ядер наиболее устойчиво?

6.26. Определить энергию β - распада ядра углерода .

6.27. Определить наименьшую энергию, необходимую для разделения ядра углерода на три одинаковые части.

6.28. Какой изотоп образуется из после трех – распадов и двух – распадов? Напишите вариант промежуточных реакций.

6.29. Найти энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре атома кислорода .

6.30. Вычислить энергию ядерной реакции

Указать, освобождается или поглощается энергия при этой реакции.

6.31. Из каждого миллиарда атомов препарата радиоактивного изотопа каждую секунду распадается 1600 атомов. Определить период Т полураспада.

6.32. Активность а препарата некоторого изотопа за время суток уменьшилась на 30%. Определить период Т полураспада этого препарата.

6.33. Найти среднюю продолжительность жизни атомов радия .

6.34. На сколько процентов уменьшится активность препарата радона ( ) за время суток?

6.35. Найти период полураспада Т радиоактивного препарата , если его активность за время суток уменьшилась на 62% по сравнению с первоначальной.

6.36. Определить, какая доля радиоактивного препарата распадается в течение времени лет.

6.37. Определить массу препарата изотопа , имеющего активность .

6.38. Определить число N ядер, распадающихся в течение времени:

1) сутки; 2) год, в радиоактивном препарате церия массой .

6.39. Во сколько раз уменьшится активность препарата через время суток?

6.40. Счетчик α-частиц, установленный вблизи препарата , при первом измерении регистрировал частиц в минуту, а через время

суток — только . Определить период Т полураспада препарата.

Приложение