Вычисление объемов тел вращения

Пусть на отрезке[a, b] задана непрерывная знакопостоянная функция y=f(x). Объемы тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ох (или оси Оу) криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) (f(x) 0) и прямыми у=0, х=а, х=b, вычисляются соответственно по формулам:

, (19)

(20)

Если тело образуется при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми x=0, y=c, y=d, то объем тела вращения равен

. (21)

Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси Ох.

По формуле (19) искомый объем

(ед.²)

Пример. Пусть в плоскости xOy рассматривается линия y=cosx на отрезке .

Эта линия вращается в пространстве вокруг оси , и полученная поверхность вращения ограничивает некоторое тело вращения (см. рис.). Найдём объём этого тела вращения.

Согласно формуле, получаем: