Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [ a, t], т.е. функция определена для произвольного
Несобственным интегралом от функции f(x) на полуинтервале называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к , т.е.
(13)
Если предел, стоящий в правой части равенства (13), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.
Пример. Вычислить .
По определению . Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
.
Тогда
= ,
т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1.
По аналогии с (13) определяется несобственный интеграл на полуинтервале :
(14)
Определение сходимости интеграла аналогично приведенному выше.
Введем понятие несобственного интеграла на интервале . Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы и сходятся. Тогда положим, что
= + , (15)
при этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть равенства (15), расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример. Вычислить .
Исследуем на сходимость интегралы и .
,
т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но
,
т.е. расходится и, следовательно, расходится несобственный интеграл .
В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера-Пуассона.
Доказано, что = .