Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [ a, t], т.е. функция определена для произвольного

Несобственным интегралом от функции f(x) на полуинтервале называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к , т.е.

(13)

Если предел, стоящий в правой части равенства (13), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

Пример. Вычислить .

По определению . Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

.

Тогда

= ,

т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1.

 

По аналогии с (13) определяется несобственный интеграл на полуинтервале :

(14)

Определение сходимости интеграла аналогично приведенному выше.

Введем понятие несобственного интеграла на интервале . Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы и сходятся. Тогда положим, что

= + , (15)

при этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть равенства (15), расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Пример. Вычислить .

Исследуем на сходимость интегралы и .

,

т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но

,

т.е. расходится и, следовательно, расходится несобственный интеграл .

 

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера-Пуассона.

Доказано, что = .