Математический маятник

Цель работы: изучение гармонических колебаний, экспериментальная проверка зависимости периода колебаний маятника от его длины; определение ускорения свободного падения.

Основные теоретические положения

 

Колебательным движением или колебанием называется такое движение, при котором тело остается вблизи некоторого положения равновесия. В качест­ве примеров колебаний на рис. 4.1 приведены математический, пружинный и физический маятники.

Если положение системы в любой момент времени может быть описано единственным параметром, то говорят, что система имеет одну степень свобо­ды. Для всех систем с одной степенью свободы, вне зависимости от их физиче­ской природы, закон движения имеет одну и ту же математическую форму. По­лучим ее на примере пружинного маятника (рис. 4.1). На первом этапе рас­смотрения силу сопротивления не учитываем.

Рис. 4.1. Различные механические колебательные системы-маятники: математический, пружинный, физический  

x C O O` φ Рис 1.2 Штангенциркуль
φ0
φ
m

Определим положение точки массой m ее смещением x из положения равновесия, в котором x = 0. Сила упругости , действующая на массу, будет стремиться вернуть ее в положение равновесия. Она называется возвращающей силой. По закону Гука , k>0 . Знак «минус» означает, что сила на­правлена в сторону, противоположную смещению. По второму закону Ньютона

имеем: , где − ускорение точки. Так как , то , . Так как k>0, m>0, то можно положить . Тогда

 

(4.1)

x
0
Из уравнения (4.1), описывающего колебания в среде без сопротивле­ния − свободные колебания, следует, что движение точки под действием воз­вращающей силы происходит таким образом, что ее ускорение пропорцио­нально смещению из положения равновесия.

Для того чтобы определить закон колебательного движения, необходимо решить дифференциальное уравнение (4.1), то есть найти зависимость . Предположим, что

Рис. 4.2. Зависимость смещения x при гармонических колебаниях от времени при : − положения равновесия, ×− положения крайнего отклонения.  
, (4.2)

где и − произвольные постоянные величины. Подставив функцию (4.2) в уравнение (4.1), вычислив предварительно производные, можно убедиться, что она является решением уравнения и описывает гармоническое колебательное движение (рис. 4.2). Исследуем эту функцию в различные моменты времени, считая (рис. 4.3): . В момент вре­мени точка находится в положении максимального правого отклонения, в момент − в положении равновесия, в момент − в положении максимального левого отклонения, и, наконец, в момент точка возвращается в по­ложение равновесия. Таким обра­зом колеблющаяся точка проходит каждую точку своего пути, в данном примере – положение равновесия, два раза за время . Это время T называется периодом колебаний. Величина , показывающая, сколько колебаний точка совершает за единиц времени, называется круго­вой или циклической частотой колебаний. Величина А является наибольшим отклонением колеблющейся точки от положения равновесия амплитудой колебаний.

Начальная фаза определяет полож

x
x
x
x
ение колеблющейся точки в начальный момент времени . Величина называется фазой колебаний и определяет отклонение точки из положения равновесия в произвольный момент времени.

Рис. 4.3. Положение колеблющейся точки в различные моменты времени
Наряду с циклической частотой можно ввести частоту , показывающую, сколько колебаний точка совершила за единицу времени. При этом .

Вычислим период колебаний математического маятника (см. рис. 4.1). Из треугольника сил видно, что . Если угол отклонения мал, то , . Знак «минус» означает, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную направлению отсчёта угла против часовой стрелки. Так как − это касательное к траектории ускорение, то по второму закону Ньютона имеем . Тогда: , или , , , или

. (4.3)

Из формулы (4.3) следует, что период колебаний математического ма­ятника не зависит от массы груза. Поэтому для данного положения на Земле и для определенного значения g период зависит только от длины подвеса l. В частности, в той степени, в какой справедливо приближение , период колебаний не зависит от амплитуды.

Определим теперь период колебаний математического маятника в зави­симости от амплитуды. На основании закона сохранения энергии и рис. 4.1 имеем

(4.4)

 

Из равенства (4.4) легко найти круговую частоту и период колебаний:

, (4.5)

где К(k)= − полный эллиптический интеграл первого рода.

При малых колебаниях, когда выполнено , разложение функции K(k) в ряд даёт

. (4.6)

Нетрудно увидеть, что при из (4.6) следует выражение для периода малых колебаний (4.3).

 

Лабораторная установка и проведение эксперимента.

Математический маятник представляет собой груз 1, подвешенный на длинной тонкой нити 2 (рис. 4.4). За длину маятника принимается расстояние от подвижной точки подвеса до центра масс груза. Свободный конец нити зажат в подвесе 2, закреплённом на зажиме 3 штатива 4. Время качаний определяется секундомером с помощью оптических датчиков, а угол отклонения – по специальной линейке 5.

Задание 1. Изучение зависимости периода малых колебаний от амплитуды.

Рис. 4.4. Общий вид установки
Маятник откланяется от положения равновесия на небольшой угол и без толчка отпускается. Определяется время, в течение которого маятник сделает n полных колебаний, за одно полное колебание шарик проходит путь, равный четырём амплитудам. Изменяется начальное отклонение шарика и определяется время колебаний.

 

Обработка результатов и расчёт погрешностей

1. Погрешности периода колебаний определить по методике расчёта погрешностей прямых многократных измерений, задавая доверительную вероятность и коэффициент Стьюдента.

2. При проверке независимости периода колебаний от амплитуды сравниваются периоды для различных амплитуд и находит­ся такая величина , при которой . Это означает, что при амплитуде колебаний , большей , период зависит от амплитуды.

Задание 2. Изучение зависимости периода малых колебаний от длины маятника.

Изменяется длина маят­ника l и определяется период колебания. При этом масса маятника не изме­няется, а ам­плитуда выбирается такой, при которой период не зависит от амплитуды. Для каждого зна­чения длины маятника опре­деляется время отклонений.

 

Обработка результатов и расчёт погрешностей

 

При обработке данных проверяется соотношение:

 

(4.7)

Точность выполнения этого соотношения можно определить следующим образом:

1. Вычислить систематическую погрешность величины по формуле

, (4.8)

 

где − систематическая погрешность определения длины по линейке.

2. Погрешность косвенных повторных измерений величины вычислить по формуле

 

. (4.9)

 

3. Случайные погрешности величин и рассчитать по методике расчёта погрешностей прямых измерений, задавая доверительную вероятность и коэффициент Стьюдента.

4. Результаты расчётов проверить сравнением пар экспериментальных данных с учётом рассчитанных погрешностей.

Задание 3. Изучение зависимости периода малых колебаний от массы маятника.

Исследуется зависимость периода колебаний от массы маятника. Для это­го изменяется масса маятника и остается неизменной его длина. Определяется период колебаний, и результаты опытов заносятся в таблицу.

Обработка результатов и расчёт погрешностей

1. Обработку результатов таблицы провести по п. 1 задания 1.

2. Сравнить периоды колебаний для различных масс груза и показать независимость периода от массы. При этом должно выполняться равенство

 

. (4.10)

 

Задание 4. Измерение ускорения свободного падения. Используются результаты, полученные в задании 1, 2 или 3.

Обработка результатов и расчёт погрешностей.

1. Ускорение свободного падения рассчитать по зависи­мости, следующей из (4.3):

, (4.11)

где время выбирают из таблиц.

2. Погрешность случай­ных косвенных измерений ве­личины g рассчитать по фор­муле

, (4.12)

 

где величины , взяты по данным таблиц.

3. Погрешность приборных косвенных измерений величины g рассчитать по формуле

. (4.13)

4. Полученную погрешность вычислить по формуле

 

. (4.14)

 

5. Результаты представить в виде: .

Задание 5. Изучение больших колебаний математического маятника.

При фиксированной массе груза и длине маятника измерить зависимость периода колебаний от угла отклонения маятника в пределах до 30− 35 граду­сов через пять градусов. Для каждого отклонения маятника измерения провести несколько раз и заполнить таблицу.

 

Обработка результатов и расчёт погрешностей.

1. Погрешности периода колебаний определить по методике расчёта погрешностей прямых многократных измерений, задавая доверительную веро­ятность р0 и коэффициент Стьюдента.

2. Построить зависимость нормированного теоретическим значением (4.3) периода колебаний маятника от угла отклонения , указав на графике нормированные доверительные интервалы по вертикальной оси координат. При этом в качестве по горизонтальной оси выбирается систематическая погрешность, равная половине деления шкалы, по которой измеряется первоначальное отклонение маятника.

3. На том же графике для данной длины маятника по формуле (4.5) построить нормированную теоретическую зависимость периода колебаний от угла первоначального отклонения маятника.

4. На том же графике для данной длины маятника по формуле (4.6) построить приближённую нормированную теоретическую зависимость периода колебаний от угла первоначального отклонения маятника.

5. Сравнить графики и найти величину отклонения, при которой выполняется приближение малых колебаний. Сравнить её с величиной , определённой в задании 1.

Лабораторная работа 5