Идентификациялау объектісі
Кез келген нақты объектте шығудағы айнымалыларға әртүрлі факторлардың көп саны әсер етеді. Бұл факторлар бөгеттер (шулар) немесе біз танымайтын параметрлер болуы мүмкін. Идентификациялау объекттің келесі түрде көрсетеміз:
11.1 Сурет – Идентификациялау объекті
Мұндағы: Х = (x1…хn) – объекттің бақыланатын кірістері;
Е = ( e1…ek) – оның бақыланбайтын кірістері;
У = (y1…ym) – объекттің бақыланатын шығыстары.
Динамикалық объекттерді идентификациялауға объекттің кірісіндегі және шығыстарындағы сигналдар ақпарат көзі болып табылады. Е бөгет туралы мәліметтер, әдетте, жоқ. Объекттің барлық кірістері сыртқы ортаның объектке әсерлері және сыртқы ортаның күйлерінен және уақыттан тәуелді анықталған функциялар әсерлері болып табылады. Жиі жағдайда объект кірістері уақыттан тәуелді кездейсоқ функциялар болып табылады; олардың статистикалық қасиеттері жалпы кезде белгісіз, бірақ Х(t) және Y(t) функцияларының үздіксіз немесе дискретті түрдегі іске асырулары бар.
Таза бөгеттер, өлшенетін сигналдармен корреляцияланатын өлшенбейтін сигналдар, өлшеулер және түрлендірулердің қателіктері, т.б. болатын объекттегі шулардың себебінен де идентификациялау қиындалады. Бақыланбайтын E(t) кіріс туралы оның құрылымы, яғни осы кездейсоқ функцияның сипаттамасы белгілі деп есептелінеді. Әдетте E(t) нормалды кездейсоқ процесс, бірақ оны тікелей бақылау мүмкін емес деп алынады. Жалпы көзқарасты жоймай, осындай барлық шуларды шығыста орнатуға болады (11.2 сурет).
Идентификация процедурасын бастау үшін қажетті объект туралы барлық ақпараттар екі түрге бөлінеді: априорлы және апостериорлы ақпарат.
Объекттің кірістері мен шығыстарын бақылау алдында белгілі априорлы ақпарат идентификацияланатын объекттің құрылымын анықтайды.
11.2 Сурет – Динамикалық жүйенің классикалық көрсетілуі
Мысалы, келесі төрт белгілерді (бірақ, құрылым тек олармен анықталмайды) атауға болады: динамикалық, стохастикалық, сызықсыз, дискреттілік қасиеттер. Әрине, объект туралы пікірлер апостериорлы ақпаратты талқылағаннан кейін, яғни объекттің кірістері мен шығыстарының жүріс-тұрысын бақылағаннан кейін өзгеруі мүмкін.
Апостериорлы ақпарат сандық түрде көрсетіледі, яғни бұл объекттің кірісі мен шығысын бақылау нәтижелері (протокол). Үздіксіз объекттер үшін үздіксіз мәліметтердің тіркелулерін аламыз: бір бақылау периодындағы (0<=t<=T) объект кірісінің барлық өлшеулері X(t) және оның шығыстарының өлшеу нәтижелері Y(t). Протокол келесі түрде жазылады: (<X(t), Y(t)>, 0<=t<=T). Мұның мағынасы келесідей: объект жүріс-тұрысы n+m әртүрлі қисықтар x1(t),…, xn(t); y1(t),…, ym(t) түрінде осы интервалда тіркелген.
Дискретті түрде X = (X1,…, XN), Y = (Y1, …, YN) және де протокол келесі (<Xi Yj>, i=1,…, N; j = 1,…,N) түрде жазылады, мұнда Xi = (x1i,…,xni), Yi = (y1i ,…, ymi). Осы протокол n+m тік жолдары және N жәй жолдары бар кесте болып табылады
| х11 | х21 | … | xn1 | y11 | y21 | … | ym1 |
| х12 | х22 | … | xn2 | y12 | y22 | … | ym2 |
| х1N | х2N | … | xnN | y1N | y2N | … | ymN |
11.2 Идентификациялау есебінің қойылуы
Объект берілген болсын, оның әдеттегідей жұмыс кезінде бір уақытта оның кірісіндегі x(t) және шығысындағы y(t) функцияларын өлшеуге мүмкіндік бар болсын. Жалпы кезде бұл функциялар кездейсоқ болып табылады. Осы x(t) және y(t) өлшеу нәтижелерін қолданып, берілген объекттің моделін құрастыру қажет болсын, яғни кірісіндегі x(t) және шығысындағы y(t) функцияларды бір-біріне сәйкестендіретін операторды табу. Дәлірек айтқанда, модель операторының өзін емес, оның жуықтаған мәнін, яғни бағасын табу есебі қойылады. Басқа сөзбен айтқанда, объект операторына белгілі мағынада жақын болатын модель операторын құрастырамыз.
Объект сипаттамаларын көрсететін операторын А0 деп белгілейік, ол кірістегі еркін x(t) сигналына шығудағы y(t) сигналын сәйкестіреді
y(t)=A0{x(t)}
А0 операторының жуықтамасы ретінде қолданылатын кейбір А операторды табу идентификациялау есебінің мағынасы болады, яғни
yм(t) = A{x(t)},
мұнда A0 – объект сипаттамасы, A – модель сипаттамасы.
Оператордың А бағасы белгілі мағынада оның нақты мәніне жақын болса, тек қана сонда модель мен объект арасындағы сәйкестік туралы әңгімелеуге болады. Жақындығын дәлелдеу өте қиын, себебі А және А0 операторларының құрылымы, олардың кірістер саны әртүрлі болуы мүмкін және А0 операторы белгісіз. Осыған байланысты операторлардың жақындығын олардың бірдей кірудегі x(t) әсеріне y(t) және yм(t) реакциялары бойынша бағалауға болады.
11.3 Сурет – Идентификациялау процедурасының сұлбасы
Жалпы кезде ρ(y,yм) функциясы орнатылады, ол y, yм тәуелді, бірақ А-дан тәуелсіз болады және жоғалту функциясы немесе невязка (сәйкессіздік) функциясы деп аталады. Бұл функцияның келесідей қасиеттері бар:
1) ρ(y,yм)>=0 кез келген y,yм үшін;
2) тек қана y=yм болғанда ρ(y,yм)= 0;
3) ρ(y,yм) – үздіксіз және төмен қарай ойылған, яғни бұл функция әрқашанда екі кез келген y,yм нүктелерін байланыстыратын түзу кесіндісінен жоғары жатпайды.
Егер де y,yм әр нүктеде емес, барлық бақылау интервалында жақын болуы керек болса, онда барлық интервалда жақындық өлшемін енгізу керек. Осындай өлшем ретінде келесі функционалды қолдануға болады:
(11.1)
Егер де физикалық мағынасы бойынша ақпараттың маңызы уақыттың әртүрлі моменттерінде бірдей болмаса, онда келесідей нормалау шартымен
(11.2)
h(t)>0 салмақ функциясы енгізіледі.
Сонда
(11.3)
h(t) функциясын таңдау ақпараттың маңыздылығымен анықталады.
Дискретті жағдайда Q функционалы келесі түрде жазылады
(11.4)
мұнда hi >0 (i=1,…,N, ∑ hi =N) – i моментіндегі ақпарат салмағы.
Q функционалы сәйкессіздік (невязка) функционалы деп аталады, ол А-дан тәуелді. Сонымен невязка дәрежесін (сәйкессіздік дәрежесін) модель А операторынан ашық түрде тәуелді (11.3) немесе (11.4) функционалдар түрінде көрсетуге болады. Әрине, идентификациялау процесін осы функционалды минимумдауға тырысып құрастырамыз, яғни Qфункционалын А операторлар бойынша минимумдау есебін шешеміз
Бұл функционалды минимумдағанда, А операторын еркін таңдамаймыз, оларды белгілі операторлар класынан Ω таңдаймыз. Нәтижесінде А*операторын аламыз (жалғыз болмауы мүмкін), оның келесідей қасиеті бар
(11.5)
Басқа сөзбен айтқанда, невязка осы операторда минималды. Идентификациялау есебін шешуге минимумдау процедурасын қолдану өте маңызды болып табылады. Идентификациялаудың сапасының критерийі орта жоғалтуларды көрсетеді. Орта жоғалтулар неғұрлым кіші болса, соғұрлым идентификациялау сапасы жоғары болады. Идентификациялау сапасының жақсаруы икемделетін модельдің құрылымын таңдап6 оның параметрлерін өзгерту арқылы орындалады. Өзгертулер идентификациялау алгоритмдерімен орындалады. Идентификациялау алгоритмі жоғалтулар функциясымен және күйіне келтірілетін модельдің құрылымымен анықталады. Объект пен күйіне келтірілетін модельдің кірудегі әсерлері мен шығудағы шамаларын бақылап, n мәні өскен сайын орта жоғалтулары минимумдалатындай, идентификациялау алгоритмі модельдің параметрлерін өзгертеді.
Идентификациялаудың қиындықтары. Идентификациялау есебінің шешімі ізделінетін операторлардың Ω класын анықтауда бірінші қиындығы болады. Бұл қиындықты формалды жолмен жеңу қазіргі кезде мүмкін емес. Әзірше Ω оператор класы туралы шешімді тек қана адам қабылдай алады. Сонымен бірге келесілерді есепке алу керек: басқару объект ретіндегі объекттің құрылымын; объект жұмысының механизмін (басқару мақсаттарына әсер ететін); басқару мақсаттарын; басқару алгоритмін. Соңғы екі пункттері Ω класын болашақ басқарумен байланысырады, сол басқару үшін объект идентификацияланады. Екінші қиындық минимумдау есебін ыңғайлы және тез шешуде болады. Идентификациялау алгоритмі қойылған есепті белгілі мағынада тиімді шешу керек. Басқа сөзбен айтқанда идентификациялау есебінің тиімділігінің критерийі анықталуы керек.
12 дәріс. Сызықты динамикалық объекттерді идентификациялау. Тура әдістері
Дәрістің мазмұны:
- сызықты объекттерді идентификациялау әдістері; арнайы түрдегі сигналдар көмегімен идентификациялау.
Дәрістің мақсаты:
- өтпелі функция көмегімен сызықты объекттерді идентификациялау әдістерін оқып білу.
Сызықты болатын немесе жеткілікті дәлдікпен сызықты модельдермен аппроксимацияланатын объекттерді идентификациялау әдістерін қарастырамыз.
Сызықты объекттің динамикалық сипаттамаларын тәжірибелі жолмен анықтау әдістерін үш негізгі топтарға бөлуге болады.
Тура әдістер деп аталатын әдістері бірінші топты құрастырады. Бұл топтың әдістерімен келесідей сипаттамалар анықталады: жиілік аймағында – амплитудалық және фазалық сипаттамалары, уақыт аймағында – импульсті өтпелі және өтпелі функциялары. Бұл топтың әдістері объект кірісіне арнайы сигналдарды беруді талап етеді, кей кезде оны жасау мүмкін емес немесе рұқсат етілмейді.
Белгілі құрылымы бар модельдердің параметрлерін қалпына келтіру әдістері екінші топты құрастырады.
Объекттің белгісіз динамикалық сипаттамаларын объект туралы бар болатын априорлы ақпарат негізінде таңдалынатын аналитикалық өрнектермен аппроксимациялауда негізделген әдістері үшінші топтың әдістері болып табылады.
12.1 Динамикалық сипаттамаларды тура әдістермен анықтау
Тура әдістерде идентификациялау арнайы түрдегі сигналдар көмегімен орындалады. Басқару жүйелерде іске асырылған бірінші әдістері жиілік, сатылық және импульсті әсерлерді қолданумен орындалды. Осы әдістердің көбісі тек қана сызықты жүйелерге қолданылады. Егер сигналдар деңгейлері кішкене шамалар болса, олар сызықтандырылған жүйелерге де қолдануы мүмкін. Бұл әдістер арнайы сигналдарды талап етеді: өтпелі функция (сатылы өтпелі функция) бойынша идентификациялау үшін сатылы сигналдарды, импульсті өтпелі функциямен идентификациялау үшін кірісте импульсты сигналдарды және жиілік сипаттамаларды анықтау үшін әртүрлі жиіліктердегі синустық кірістегі сигналдарды.
Объекттің әдеттегідей кірістегі сигналдардың орнына айтылған арнайы сигналдары қолданылатын болғандықтан, бұл әдістер идентификацияны, әрине, басқару процесінен тыс кезде өткізілетінін талап етеді. Сондықтан бұл әдістер тек қана сызықты стационарлы жүйелерге қолданылады, себебі осындай жүйелерде кіріс сигналдардың бір түріне алынған кіріс/шығыс қатынасы басқа түрдегі кіріс сигналдарына да сақталады.
Аталған кіріс сигналдарының үшеуінің ішінде сатылы кіріс сигналы қолдануға ең қарапайым болып табылады, ал синусоидалдық сигналдарды кіріске беру синусоидалдық әсерлерді жасап, жиілікті сәйкес диапазонда өзгерту керек. Импульсті әсер бойынша идентификациялау үшін импульсті кіріс сигналын жасап, қолдануымен байланысты техникалық қиындықтар пайда болады. Бұл әдісті сызықтандырылған жүйелерге қолдануға болмайды, себебі анықтама бойынша импулс амплитудасы кіші шама бола алмайды.
12.2 Өтпелі функция бойынша идентификациялау
Идентификациялау кезде қолданылатын қарапайым кіріс сигналы сатылы сигнал болып табылады. Осындай сигнал жүйе кірісінде, мысалы, кіріс клапанды кенет ашу (жабу), басқару кернеуді қосу (өшіру), т.б. жолдарымен орнатылады, сонымен бірге олардың барлығын арнайы аппаратураны қолданбай орнатуға болады. Идеалды сатылы сигналдың өсу уақыты нөлге тең, бірақ мұны физикалық іске асыру мүмкін емес, себебі ол кезде өсу жылдамдылығы шексіз үлкен шама болуы керек. Сондықтан кез келген нақты сатылы сигнал идеалды сатылы сигналының тек қана аппроксимациясы болады. Бірақ, егер де сигналдың өсу уақыты жоғарғы гармониканың периодынан әлдеқандай кіші болса, идентификациялау қателігі кіші шама болады. Бөгеттері бар процестерде немесе өлшеулерге шулар әсер еткен болса, шуларға фильтрлеу процедурасын қолдану қажет.
Өтпелі процесс көмегімен идентификациялау басқару процесінен тыс автономды орындалады, сондықтан тек қана стационарлы процестерге қолданылады. Бірақ сатылы әсерлер жүйелерді жұмысқа қосқанда және де олардың әдеттегідей жұмыс кезінде де көп деген жүйелерге әсер ететін болғандықтан, жүйе жұмысын бұзбай өтпелі функцияларды жазып алуға болады. Осында қарастырып отырған әдістің артықшылығы болады. Сонымен бірге, жүйе стационарлы деп есептеу керек, себебі идентификациялау нәтижелері сатылы сигналды қолданғаннан да кейін дәл болады деп есептелінеді. Сонымен бірге сатылы сигналдың амплитудалары диапазонында жүйе сызықты деп есептелінеді.
Сонымен, жүйенің беріліс функциясын анықтау үшін оның өтпелі функциясының графигін қолданамыз. Осындай әдісті сызықты жүйелердің көбісіне (1 және 2 ретті және жоғарғы дәрежелі апериодтық жүйелерге) қолдануға болады. Өтпелі функциялар көмегімен графикалық идентификациялау әдісті бірінші ретті процестерге қолданғанда дәлдігі жоғарырақ болады.
Өтпелі процестің графигі берілген болсын. t0=0 уақыт моментінде x шамасы секіру жолымен а шамасына өзгереді. Объект теңдеуін жазу керек. Ізделінетін теңдеудің түрі бірінші ретті объект үшін келесідей болады
немесе 
. (12.1)
Теңдеудің T және k параметрлерін анықтау керек.
Осы параметрлерді анықтаудың бірнеше әдісін қарастырайық:
а) біріншіден берілген бастапқы шарттарда теңдеудің аналитикалық шешімін табамыз. Осы шешімге T және k параметрлері кіреді. Графикалық және аналитикалық шешімдерді салыстырып, шешімнің аналитикалық өрнегінің парметрлерін табамыз. Бастапқы шарттар: t=0 болғанда y=0 және t>0 болғанда x=a үшін теңдеудің жалпы шешімінің өрнегі келесі түрде жазылады:
(12.2)
Графикте екі нүктені алайық (бұл жеткілікті). Осы нүктелердің координаттарын шешім өрнегіне қойып, екі T және k белгісіздерді анықтау үшін екі теңдеуді аламыз:
Бірақ бұл теңдеулер трансцендентті, сондықтан олардан T және k мәндерін есептеу өте қиын. Алынған шешімнің дәлдігі төмен, себебі графиктің тек қана екі нүктесі қолданылды;
б) дәлдігі жоғарырақ шешімді алу үшін графикті ∆t қадамымен y1, y2 , y3,…ординаталарға бөлеміз. Алынған нүктелер үшін, жалпы шешімді қолданып, келесіні жазуға болады
т.с.
Келесіні есептейміз
т.с.
e 
деп белгіліп, келесіні жазамыз
, 
, т.с.
Сонымен бірге
және т.с.
q мәндеріндегі айырмашылықтар тәжірибе және y(t) мәндерін анықтаудың қателіктерімен байланысты. Алынған qi мәндерінің орта арифметикалық 
мәнін есептеп, уақыт тұрақтысын келесі өрнектен 
нақтылауымызға болады:
Сол сияқты, келесілерді есептеп
және т.с.,
нақтыланған kорта мәнін анықтаймыз;
в) практикада жиі қолданылатын келесі қарапайым әдіс.
t ∞-ке ұмтылған жағдайда y(t) = k*a болады, яғни асимптота ординатасы бойынша (асимптота ординатасы K=ka) k мәнін анықтауға болады. k коэффициенті шығудағы сигналдың тұрақталған мәнімен кірудегі сигналдың амплитудасы арасындағы қатынасты көрсетеді.
t = T болғанда, функция
y (t)=b· 
= b· (1-e-1) = b· (1-0.37) = 0.63·b.
Сонымен, бірінші ретті жүйенің өтпелі функциясы өзінің тұрақталған мәнінің 63% жеткендегі уақыт бөлігі жүйенің T уақыт тұрақтысы болады. Графикте өтпелі процестің тұрақтанған шамасының 63% белгілеп, осы нүктенің абсциссаның табамыз (Т параметрін).
г) Т тұрақтыны келесі жолмен де анықтауға болады. Шешімді дифференциалдап, t мәнін 0-ге ұмтылдырамыз, сонда
, 
(12.6)
мұнда α шамасы t = 0 болған кездегі функция графигіне жанаманың көлбеу бұрышы. Сонда T= 
. Сонымен, T шамасы - координаттар басынан жанама асимптотамен қиылысатын нүктеге дейінгі уақыт өсінің кесіндісі.
Бұл ең қарапайым, бірақ дәлдігі төмен шешім. Себебі жанаманы дәл өткізу және асимптотаның b ординатасын дәл анықтау өте қиын. Сонымен бірге, шешім графиктің тек қана бастапқы және соңғы нүктелерін қолданады.
Егер де өтпелі функция τ уақытысына кешіксе, яғни сатылы әсерді бергеннен кейін τ уақытысы бойынша нөлге тең болса, онда жүйенің уақыттық кешігуі бар, ол үшін Лаплас түрлендіруі e-τs шамасы болады.
Сонда өтпелі функция келесі өрнектермен жазылады
(12.7)
Ал беріліс функцияны келесі түрде аламыз 
.
13 дәріс. Сызықты динамикалық объекттерді идентификациялау. Тура әдістері
Дәрістің мазмұны:
- Арнайы түрлі сигналдар көмегімен идентификациялау.
Дәрістің мақсаты:
- импульсті өтпелі функция және жиілік сипаттамалар көмегімен сызықты объектті идентификациялау әдістерін оқу.
13.1 Екінші ретті процестердің өтпелі функциясы көмегімен графикалық идентификациялау
Екінші ретті объект келесі теңдеумен бейнеленеді
(13.1)
Кірістегі әсер х = а. t>0 болғанда кірудегі әсер бірлік функция
x=a=1 болатын шартында T1, T2 және k-ны есептейік.
Алдындағыдай (бірінші ретті объект) басында теңдеудің жалпы шешімін жазамыз
(13.2)
t=0 болғанда y=0, 
осы бастапқы шарттары үшін интегралдау тұрақтыларын табамыз
Осыдан 
Сонда ізделінетін дербес шешім
(13.3)
Осы өрнекке графиктің үш нүктесінің координаттарын қойып, ізделінетін шамаларға үш теңдеуді алуға болады. Бірақ бұл теңдеулер трансцендентті болғандықтан, шешімін табу оңай емес. Осы орайда бірінші ретті объектке қолданған әдісті пайдалануға болады.
13.2 Импульсті өтпелі функциясы көмегімен графикалық идентификациялау
Импульсті өтпелі функциялары көмегімен сызықты жүйелерді идентификациялау процедурасы өтпелі функциямен идентификациялауға ұқсас. Осындай идентификациялау үшін идентификацияланатын жүйе кірісіне импульсті әсерді (делта-функцияны) беру керек. Сондықтан идентификациялау басқару процесінен тыс орындалады.
Бірлік импульс үшін Лаплас түрлендіруі бірге тең: X(s) = 1. Сонда шығудағы сигнал үшін Лаплас түрлендіруі Y(s) = W(s) және Y(t) = L-1[Y(s)] = L-1[W(s)]= g(t). Басқа сөзбен айтқанда, сызықты жүйе үшін импульсті өтпелі функциясы оның беріліс функциясының кері Лаплас түрлендіруіне сәйкес. Бұл нәтиже идентификациялау үшін өте маңызды.
Бірінші ретті жүйелер келесі беріліс функциясымен сипатталады
Онда импульсты өтпелі функция келесі түрде жазылады
. (13.4)
T және K параметрлері графиктен анықталады:
бастапқы нүктеде 
, ал g(t) функциясы 
мәніне жететін уақыт T-ға тең:
. (13.5)
Т тұрақтысын келесі жолмен де табуға болады: g(t) графигінің басынан жанаманы өткізіп, оның уақыт осімен қиылысқан нүктесін аламыз, себебі теңдеуіне сәйкес келесіні жазуға болады 
және t = T болғанда келесіні аламыз 
( жанама теңдеуінен)
Практика жүзінде жүйенің кіріс сигналы импульске жуықтау болады және g(t) ешқашанда 
шамасынан басталмайды. Бұл жағдайда t=0 аймағындағы максималды еңкею t=0 шамасының кері бағытынан шамасына жететіндей жалғастырылады.
13.3 Жиілік сипаттама көмегімен идентификациялау
Реттеу жүйелерді анализдеу және синтездеу үшін жиілік сипаттамалар кең қолданылады. Бірақ оларды объект теңдеулерін анықтауға да пайдалануға болады. Жиілік әдіс амплитуда-фазалық сипаттамаларды қолданады. Жиілік сипаттама көмегімен идентификациялау синустық немесе жиіліктері қарастырылып отырған интервалда өзгеретін синустық сигналдарды жуықтайтын сигналдарды қолдануда негізделген.
Бұл әдістердің көп артықшылықтары бар: гармоникалық кіріс сигналдары өлшеулердің әртүрлі нүктелерінде ортогоналды болып табылады, сондықтан жиілік сипаттамалардың әр нүктесі басқалардан тәуелсіз анықталады; осы жағдайға байланысты әдістің үлкен дәлдігі бар; өңдеудің қарапайымдылығы; өлшеулерді бекітілген жүйеде орындауға болады; бөгеттер әсерлерінің төмен деңгейлері.
Кемшіліктері: күрделілігі және төменгі жиілікте өлшеу жүргізу үшін құрылғылардың көп мөлшерде болуы; өлшеу уақытының үлкен болуы; сигналдарды түрлендірудің қажеттілігі; өлшеу шарттары және зерттелетін объекттің параметрлері бақылау кезінде өзгеріп кетуі.
Фурье түрлендіруін қолданғанда кірістегі және шығыстағы сигналдар келесідей байланысады:
Y(jω) = W(jω)·X(jω),
мұндағы W(jω) – ω жиілігіндегі жүйенің беріліс функциясы. Бұл комплексті шама
W(jω) = α(ω) + j·β(ω);
│W(jω)│= 
;
φ(ω) = arg[W(jω)]= 
Егер де объект кірісіне синустық A0sin(ωt) әсер берілсе, онда тұрақтанған шығудағы сигналдың өлшенген мәні келесідей болады
y(t) = A1sin[ωt + φ(ω)] + n(t),
мұнда n(t) - өлшеу қателігі, 
=│W(jω)│, φ = Arg[W(jω)].
W(jω) жиілік сипаттаманы анықтау үшін әртүрлі ω жиіліктерде A0sin(ωt) синусоидалды кіріс сигналдар беріліп, оларға сәйкес шығудағы A1sin[ωt + φ.сигналдар жазылады. Қажетті жиілік сипаттаманы алу үшін A1/A0 және φ шамалары қарастырып отырған ω әр мәні үшін анықталады. Басқа сөзбен айтқанда кірудегі және шығудағы сигналдардың жазулары бойынша ωi жиіліктегі амплитудалардың қатынастары қарастырылып, |W(jωi)| анықталады. Фазалық φ(ωi)ығысуды x(t) және y(t) қисықтардың максимумдарын салыстырып табады. Алынған жиілік сипаттамалар объекттің теңдеуін анықтауға мүмкіндік береді.
Объектті идентификациялау процедурасын мысалда қарастырайық. Тәжірибеден алынған жиілік сипаттамалар негізінде жүйенің беріліс функциясын анықтаймыз. Тәжірибелерді өткізіп, кірудегі және шығудағы сигналдарды өлшеп, содан кейін жоғарыда айтылғандай объекттің амплитудалық А(ω) және фазалық φ(ω) сипаттамаларын анықтап, жиіліктің қарастырып отырған әр мәні үшін келесіні жаза аламыз
P(ωi) = A(ωi)·cosφ(ωi),
Q(ωi) = A(ωi)·sinφ(ωi)
Модельдің құрылымдық параметрлері (бұл арада теңдеу реті) құрылымдық идентификациялау қадамында анықталатынын еске салайық. Теңдеудің белгілі ретін (болжанатын) алайық. Анық болуы үшін объект үшінші ретті деп есептейік. Онда
(13.6)
Беріліс функцияның коэффициенттерін анықтау керек. Алмастырып, беріліс функцияны оның нақты және жорамал бөліктерінің қосындысы ретінде жазамыз
Осыдан
Комплексті өрнектердің нақты және жорамал бөліктерінің коэффициенттерін теңестіріп, келесіні аламыз
Бұл теңдеулер ω-ның барлық мәндері үшін орындалады.
Осы теңдеулерге жиіліктердің әртүрлі ωi және оларға сәйкес P(ωi), Q(ωi) мәндерін қойып, беріліс функциясының белгісіз коэффициенттерін анықтауға алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз. Тәжірибелік өлшеулерде, сонымен бірге осы өлшеулер негізінде есептелінген P(ωi), Q(ωi) функцияларында қателіктер бар болады, сондықтан есептелген коэффициенттері нақты коэффициенттері-мен сәйкес келмейді. Коэффициенттер мәндерін нақтылау үшін есептеулер басқа жиіліктермен қайталанады және екі есептеулердің орта мәні алынады.
Егер де объект реті болжанатын реттен жоғары болса, қате есептеулердегі коэффициенттер мәні бірінші мәндерден көп өзгеше болады. Басқа сөзбен айтқанда, коэффициенттерде өте үлкен айырмашылық болса, объект реті төмен алынған (бұл айырмашылық тәжірибе қателігі емес).
Полигармоникалық кірістегі сигналдарды қолданғанда бөгеттерге тұрақтылық көбейеді. Кірістегі сигналдардың жиілік спектрі белгілі болғандықтан, кірудегі және шығудағы сигналдардың өлшеу нәтижелері негізінде барлық қажетті гармоникалар үшін Фурье коэффициенттерін табуға болады.
14 дәріс. Сызықты объекттерді параметрлік идентификациялау
Дәрістің мазмұны:
- сызықты объекттерді параметрлік идентификациялау
Дәрістің мақсаты:
- сызықты объекттерді параметрлік идентификациялау әдістерін оқу (статикалық және динамикалық детерминерленген объекттер).
Сызықты немесе белгілі дәлдікпен сызықты деп есептеуге болатын объекттерді қарастырамыз. Параметрлік жағдайда модель өзінің параметрлерімен анықталады, идентификациялау процесінде оларды бағалау керек. Бағалау үшін сәйкессіздік функционалын минимумдау процедурасы қолданылады. Осы процедураны түсіну үшін әуелі статикалық детерминерленген жағдайды қарастырамыз.
14.1 Статикалық детерминерленген сызықты модельдер
n кірісі және m шығысы бар сызықты объекттің моделінің құрылымы жалғыз болады және сызықты алгебралық теңдеулер жүйесімен бейнеленеді
cij, i =1,..., m; j = 0,…,n коэффициенттері m(n+1) идентификацияланады
Векторлық түрде 
мұнда X = (x1, x2,,…, xn) – кіріс; Y = (y1, y2,,…, yn) – шығыс; C0 = (c10, …,cm0); 
Объект туралы ақпаратты келесі түрде көрсетуге болады {Xj, Yj k}, k =1,…,m. C0 және C идентификацияланады.
n>1, m=1 жағдайды қарастырайық. m>1 жағдайы қарастырылатын жағдайды m рет қайталауға келтіріледі.
Сонымен, 
немесе 
(n+1) белгісіз коэффициенттерді {Xj, Yj}, j =1,…,N, ақпарат негізінде анықтау керек, мұндағы Xj=(x1j, x2j, …, xnj) - кірістің j-ші күйі, Yj – осы кіріске жүйе реакциясы.
Бұл есепті шешудің әдеттегі амалы – объект мен модельдің шығыстарын теңестіру
(14.1)
(n+1) белгісіздері бар N теңдеуді алдық (идентификациялау теңдеулерінің жүйесін). Бұл жүйенің жалғыз шешімі болуы үшін келесі матрицаның
|
(14.2)
Бұл орындалуы үшін осы матрицаның (n+1) сызықты-тәуелсіз жолын табу керек. Сондықтан N жұптардан (n+1)
сызықты-тәуелсіз жолдарын таңдау керек.
Сонда (14.1) жүйенің шешімі идентификацияланатын параметрлерінің дәл мәндерін анықтайды (егер де объект нақты сызықты болса).
Бірақ біздер ақпараттың барлығын қолданған жоқпыз. Оны қолдану үшін келесі сәйкессіздік функцияны кіргізейік:
(14.3)
мұндағы 
- жергілікті сәйкессіздік функция (i-ші жұпта).
Енді С параметрлерді бағалау есебін (14.3) функциясын минимумдау есебі ретінде қарастыруға болады немесе келесі алгебралық сызықты жүйеге келтіруге
(14.4)
Егер де (14.2) жүйесінің рангы (n+1)-ге тең болса, жүйенің детерминанты нөльге тең емес болады.
(14.1) және (14.4) жүйелердің шешімдері бірдей. Не үшін осы күрделі әдісті қолданамыз және де (14.1) тек қана (n+1) нүктені талап етеді? Қалған N – (n+1) не үшін керек? Егер де объект нақты дереминерленген және сызықты болса, онда екінші әдісті қолданбауға да болады. Бірақ объект сызықтыға жақын болуы мүмкін. Онда екі нүкте бойынша құрастырылған модель өрескел болады. Екінші әдіс объектті «тегістейді».
Егер де (14.4) жүйенің рангы (n+1)-ден кіші болса? Бұл жағдайда келесі амалдарды қолдануға болады
1) Өлшеулерді қайталау керек. Мүмкін жүйе күйлері бірінші тәжірибелерде әртүрлі болмады. Бұл амал көмектеспесе, модель құрылымын өзгерту керек.
2) Идентификацияланатын параметрлер санын азайту, яғни кірістің біреуін қарастырмау керек, мысалы, аз өзгеретін кірістің біреуін. (14.2) рангы оның өлшемімен бірдей болғанша осы амалды қайталау керек.
14.2 Динамикалық детерминерленген модельдер
Бір өлшемді жағдайда кірістегі x = x(t) және шығыстағы y = y(t) арасындағы байланыс қарапайым дифференциалды теңдеумен көрсетіледі
мұнда 
(14.5)
бастапқы diy(0)/dti, i = 0,1,…, n-1 шарттарымен бірге.
Модель (p+l+1) параметрлерімен c= (a0,…,ap-1,b0,…,bl) анықталады.
Кірістегі және шығыстағы сигналдары дискретті түрде берілген болса, объект динамикасын сипаттау үшін дифференциалды теңдеулер орнына айырымдық теңдеулер қолданылады. Кірістегі және шығыстағы сигналдары дискретті мәндерін xk-I = x[(k-j)] және yk-j = y[(k-j)] деп белгілеп, айырымдық теңдеуді (дифференциалды теңдеудің аналогы) келесі түрде жазамыз
(14.6)
Сонымен бірге бастапқы шарттарды да орнату қажет.
Модельдің құрылымдық параметрлері p және l болып табылады, олар құрылымдық идентификациялау процесінде таңдалынады.
(14.5) модельді жиі жағдайда дифференциалдық теңдеулер жүйесі ретінде көрсеткен ыңғайлы. y1 = y, y2 = y(1), y3 = y(2). … , yk = y(k-1)белгілейік. Онда (14.1) жүйе түрінде келесідей жазылады
(14.7)
(14.5) жүйесі (14.7) түрге келтіріледі, бірақ (14.7) жалпы жағдайда (14.5)-ке келтірілмейді.
Жалпы түрде
Онда жүйенің векторлық түрі 
Y = (y1,…, yp) – күй векторы, X’=(x, x(1), …, x(l)) – әсерлер векторы, A –коэффициенттердің квадратты матрицасы, B – коэффициенттердің төртбұрышты матрицасы. Сонымен, идентификациялау процедурасын құру үшін бастапқы ақпарат болып идентификацияланатын модельдің (14.5) түрі және [0,T] аралығындағы (Xt, Yt) бақылаулар болып табылады.
ai, bj параметрлерді анықтау керек. Жалпы кезде бақылаулар нәтижелерін (14.5) модель теңдеуіне қойғанда ол теңдеуде теңдік орындалмайды. Сонымен, (14.5) теңдеуінде оң жақ және сол жақтағы бөліктерінің айырмашылығы минималданатындай ai, bj мәндерін іздейміз.
Сәйкессіздік функцияны келесідей құрастырамыз: (14.5) теңдеуге объекттің бақылаулары - Xt, Yt функцияларын қойғанда, теңдеудің оң және сол жақ бөліктерінің айырмашылығының орта квадраты ретінде:
(14.8) (14.8)-ді ai мен bj бойынша минимумдаймыз. Минимумдау нәтижесі – с* идентификацияланатын параметрлер мәні болып табылады.
(14.8) функциясының барлық белгісіз параметрлері бойынша туындыларын тауып (функция тегіс болғандықтан), сызықты теңдеулер жүйесін аламыз, осы жүйенің шешімі минимумдау есебінің шешімі болады.
Алынған жүйені стандартты есептеу әдістерімен шешуге болады. Бірақ жүйе коэффициенттерін есептеу үшін объекттің кірудегі xt және шығудағы yt сигналдарының туындыларын білу керек. Егер де осы сигналдар аналитикалық түрде берілген болса, ешқандай қиыншылық жоқ. Кері туындыларды алу әдісін таңдау керек, бұл таңдау анықталған шарттардан тәуелді байланысты және есеп үшін бөлек анықталады:
1) сандық дифференциалдауды қолдану, яғни туындылардың жуықтаған нүктелік бағаларын
(14.9)
∆t - бағалаудың негізін орнататын интервал. Бұл әдістің екі кемшілігі бар. Біріншіден, туындылар бағаларының дәлдігі олардың реті жоғарыланғанмен бірге төмендейді. Практикада екінші реттен жоғары туындыларды жақсы бағалау мүмкін емес. Екіншіден, t=0 болғанда i-ші туындыны бағалау үшін функцияның t<0 интервалындағы мәндерін білу қажет, яғни z(-∆t), z(-2∆t), …, z(-i∆t). Бұл мәндер өлшеулерде жоқ, сондықтан (4)-те интегрелдау шектерін [0, T] емес, [i∆t, T] деп аламыз, мұнда i – максималды туындының нөмірі.
2) функцияны ρ(t) салмағымен тегістеу аппаратын қолдануға болады.
3) функцияны белгілі функциялар жүйесі бойынша қатарға жіктеуді қолдануға болады (тегістеу операциялар болғандықтан, туындыларды анықтаудың қателіктері аз болады).
Идентификациялау есебінің шешімі болу үшін минимумдау есебін шешу нәтижесінде алынған жүйенің анықтауышы нөлге тең болмауы керек. Егер де осы шарт орындалмаса, объекттің кірістері мен шығыстарының басқа іске асыруларын қолдану қажет немесе модель ретін төмендету (идентификацияланатын параметрлер p және l санын азайту) керек. Бірінші амал мақсатқа жеткізбеуі мүмкін, ал екіншісі тізбектеліп қолданғанда түбінде мақсатқа жеткізеді.
15 дәріс. Сызықты динамикалық объекттерді параметрлі емес идентификациялау. Корреляциялық функциялар
Дәрістің мазмұны:
- сызықты динамикалық объекттерді параметрлі емес идентификациялау
Дәрістің мақсаты:
- сызықты динамикалық объекттерді параметрлі емес идентификациялау проблемаларымен танысу; сигналдардың корреляциялық функцияларын анықтау әдістерін оқу.
15.1 Параметрлі емес модельді анықтаудың жалпы амалдары
Параметрлі жағдайда модель өзінің параметрлерінің жиынымен анықталатыны және олар идентификациялау процесінде бағаланатыны алдында айтфлды. Параметрлі емес модель жалпы кезде үздіксіз функциямен анықталады, бірақ ол нүктелермен немесе белгілі функциялар жүйесі бойынша қатарға жіктеумен берілуі мүмкін, сонда біздер параметрлі жағдайды қарастырамыз. Сызықты динамикалық объекттің спецификасы оның бірлік импульсті әсерге реакциясымен анықталады. Осы жағдай импульсті өтпелі («салмақты») функциямен сипатталатын параметрлі емес модельді анықтаудың негізінде болады.
Өтпелі функцияны анықтаудың артықшылықтары: өлшеулердің қарапайымдылығы, өлшеудің аз уақыты, сигналдарды өңдеудің қарапайымдылығы, сынап көруге арналған сигналдың қарапайымдылығы. Кемшілігі: дәлдігі төмен.
Практика жүзінде импульсті өтпелі функция жиі қолданылады. Біз қарастырып отырған стационарлы жағдайда бұл функция тек қана бір айнымалыдан, яғни уақыттан тәуелді:
g = g(t), 0 <= t <∞.
Жүйеге x(t) әсер берілгенде сызықты жүйенің y(t) сипаттамасы осы функция көмегімен біртекті келесідей анықталады
(15.1)
мұнда t < 0 болғанда x(t) = 0 болады.(Бұл өрнек жийма интегралы деп аталады).
g(t) импульсты өтпелі функцияны анықтау үшін объекттің x(t) кірістерінің өлшеулерін оның бар болуының барлық уақытында, яғни t=0 –ден t=∞-ке дейін өзгергендеалуымыз керек екендігін (15.1) формуласынан көреміз. Бірақ тұрақты жүйелердің (әрине, біздер осындай жүйелерді қарастырамыз) салмақты функциясының келесідей қасиеті бар
lim g(t) = 0.
t ∞
Физикалық бұл шарт тұрақты жүйенің импульсті әсерден кейін өзінің бастапқы қалпына қайта оралатынын көрсетеді. Сондықтан, (15.1) өрнегінде жоғарғы интегралдау шегін шексіздік демей, Tg деп алуға болады; оның мәні келесі шарттан анықталады
t>Tg болғанда 
,
яғни Tg уақыт моментінен бастап, салмақты функция 100α-пайызды диапазоннан шықпайды (әдетте α = 0.05).
Енді жийма интегралын келесі түрде жаза аламыз
Алдыңғы дәрістерде зерттелетін объекттің динамикалық сипаттамаларын анықтаудың әдістері ретінде объект кірісіне арнайы түрдегі (импульсты, сатылы, гармоникалық) жасанды әсерлерді беріп, жүйе реакциясын өлшеп, осы бақылаулар нәтижесін қолдануды қарастырдық.
Келесі себептерден бұл әдістерді жиі жағдайларда қолдану мүмкін болмайды:
- объекттегі процестердің қалыпты тәртібінің бұзылу себебінен объект кірісіне арнайы түрдегі әсерлерді беру мүмкін емес немесе қолайлы емес;
- жиі жағдайларда осы әсерлерге бақыланбайтын бөгеттер қосылады, сондықтан объекттің динамикалық сипаттамаларын типтік кіріс сигналдары бойынша анықтау мүмкін болмайды.
Осы себептерді еске алып, статистикалық амалды қолданатын әдісті қарастырайық. Статистикалық әдісте ақпарат көзі ретінде идентификацияланатын объекттің табиғи кездейсоқ сигналдарын қолданады. Кездейсоқ сигналдарының жиілік спектр қажетті болатынының ықтималдағы өте төмен, сондықтан кездейсоқ сигналдармен бірге кейбір қателіктер пайда болуы мүмкін. Осы қателіктерді азайту мақсатымен статистикалық әдісті қолданғанда есептеу көлемі өте көп болады, сондықтан компьютерлерді қолдануға тура келеді.
Идентификациялаудың статистикалық әдісін қолданғанда корреляциялық және спектрлік функциялар кең қолданылатын функциялар болып табылады. Кездейсоқ функциялардың сипаттамаларын бейнелейтін басқа да функциялар бар (мысалы, ықтималдық таратылу заңдары), бірақ оларды идентификациялау есебіне қолдану шектелген.
15.2 Сигналдардың корреляциялық функцияларын анықтау
Корреляциялық функцияларын бағалау үшін тәжірибелерді көп мөлшерде өткізіп, оның әрқайсысында кездейсоқ функциялардың жүзеге асыруларын жазып, содан кейін әр t кесіндісінде кездейсоқ функцияның орта мәнін анықтау керек. Басқа сөзбен айтқанда, жүзеге асырулар бойынша орта мәнді анықтау қажет.
Кездейсоқ сигналдардың статистикалық сипаттамаларын бірнеше емес, жалғыз тәжірибеден анықтаған, басқа сөзбен айтқанда, [0, T] уақыт аралығындағы орта мәнін табу ыңғайлы болар еді.
Уақыт бойынша орта мәні жиынтық бойынша орта мәнімен бірдей болатын қасиеті бар стационарлы кездейсоқ функция эргодикалық функция деп аталады (математикалық күтім немесе корреляция функциясы бойынша). Эргодикалық гипотезасы ансамбль бойынша орталандыруды уақыт бойынша алынған жалғыз іске асыру бойынша орталандырумен алмастыруға мүмкіндік береді.
Уақыттың екі t1 және t2 = t1 + τмоменттеріндегі кездейсоқ процестің екі мәнінің орта шамасыкорреляциялық (кей-кездеавтокоррреляциялық) функция деп аталады. Стационарлы кездейсоқ процесс үшін корреляциялық функция тек қана τ = t2 - t1шамасынан тәуелді болады
(15.2)
сонымен бірге Rxx(τ) = Rxx(-τ) .
Корреляциялық функция кездейсоқ процестің әртүрлі уақыт моменттеріндегі мәндерінің арасындағы байланысты сипаттайды. Уақыт интервалы τ өскен сайын корреляциялық функция кемиді – кездейсоқ процестің бір-бірінен уақыт бойынша алыс орнатылған мәндері арасындағы байланыс кемиді. τ = 0 (t1 = t2) болғанда орталықтанған кездейсоқ процесс үшін корреляциялық функцияның мәні дисперсиясына тең.
Уақыттың екі t1 және t2 = t1 +τ моменттеріндегі екі кездейсоқ процестерінің мәндерінің орта шамасы өзара корреляциялықфункция деп аталады. Стационарлы кездейсоқ процесс үшін корреляциялық функция тек қана τ = t2 - t1 шамасынан тәуелді болады
(15.3)
Өзара корреляциялық функция екі кездейсоқ процестерінің әртүрлі уақыт моменттеріндегі мәндерінің арасындағы байланысты сипаттайды. Уақыт интервалы τ өскен сайын өзара корреляциялық функциясының да мәндері кемиді.
Өлшеулердің көлемі шектелген болғандықтан, бұл функциялардың орнына олардың келесідей бағалары қолданылады
(15.4)
мұнда 0≤τ≤TR, уақыт периоды TR келесі шарттан анықталады: τ > TR болғанда корреляциялық функция берілген диапазоннан (әдетте 5%) шықпайды:
│R(τ )│ ≤ 0.05Rmax (5% кем корреляцияны есепке алмауға болады).
Әрине, TR мәні Rxx(τ) мен Rxy(τ) үшін әртүрлі болады. Бірақ бізге объекттің динамикалық сипаттамалары керек, ал олар Rxy(τ) функциясында көрсетіледі, сондықтан TR =TRxy деп алуға болады. Сонымен, бастапқы ақпарат келесі корреляциялық функцияларына түрленеді: < 
, 
, 0≤τ≤TR>.
Компьютерлер көмегімен есептеулерді өткізгенде T интервалы ұзындығы ∆t болатын N тең бөлшектерге бөлінеді, τ және t дискретті мәндерді (∆t-ға еселі) қабылдайды
τ = k·∆t 
k = 0,1,2,3…, t = kt ·∆, kt =1,2,3…
Онда интегралды келесі жуықтаған қосындымен алмастыруға болады
Келесі формула жиі қолданылады
(15.5)
k=0,1,…, N, 
– ығысу интервалы(k=0, …, N-1), N – корреляциялық функцияның өлшенетін координаталар саны, x –интервалдағы x-тің орта мәні.
(15.5) бойынша корреляциялық функцияны анықтаудың дәлдігі бақылау T интервалының ұзындығымен, корреляцияның τmaxмаксималды уақыт мәнімен, уақыт бойынша дискреттеудің ∆t қадамымен, 0<=τ<=τmaxинтервалында анықталатын корреляциялық функцияның ординаталары санымен анықталады. Корреляцияның максималды уақыт мәні деп келесі шартты |R(τ)|<= 0,05·Rmax қанағаттыратын τ мәнін түсінеміз.
Корреляциялық функцияны анықтаудың жалпы сұлбасы:
1. Зерттелетін кездейсоқ процестердің іске асырулары орталықтанады.
2. Алдын ала жиілік анализ өткізіледі. Оның нәтижесінде зерттелетін сигналдардағы жоғарғы fmax және төменгі fminгармоникалары бағаланады.
3. Сигналдың корреляциялануының максималды уақыты анықталады:
τmax= 