Погрешности произведения и частного

Если при записи погрешностей отдельных измерений или расчетов, а также сумм и разности приближенных чисел пользуются как абсолютной, так и относительной погрешностями, то для погрешностей произведений и частного предпочтительнее пользоваться относительными погрешностями. С чем это связано, рассмотрим на примерах.

Пример 7. Пусть даны два приближенных числа: и Относительные погрешности этих чисел соответственно равны: Найдем произведение этих приближенных чисел:

В качестве погрешности в результате умножения пока поставлен знак вопроса, поскольку пока не ясно, что там нужно писать. Для выяснения этого вопроса определим возможное максимальное значение результата умножения и возможное минимальное значение. Максимальное значение не может превышать число а минимальное значение не может быть меньше числа Для максимального значения произведения абсолютная погрешность будет Для минимального значения –

Ни одну из этих абсолютных погрешностей нельзя получить ни сложением, ни умножением погрешностей ( и ) исходных приближенных чисел. То есть их нельзя использовать вместо знака вопроса в приведенном выше результате умножения. Попробуем использовать для этой цели относительные погрешности. Очевидно, нам нужно использовать относительные погрешности для максимального (1071) и минимального (931) результатов умножения, которые соответственно равны:

Значения этих погрешностей близки к сумме исходных относительных погрешностей заданных приближенных чисел

Отсюда напрашивается вывод, что вместо знака вопроса в записи результата умножения можно использовать сумму предельных относительных погрешностей сомножителей. Это на самом деле так и есть, подтверждением чего является теорема [6]: предельная относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел не превышает суммы предельных относительных погрешностей сомножителей, т.е.

где – предельные относительные погрешности сомножителей.

Пример 8. Найдем относительную погрешность произведения двух приближенных чисел a = 6,32иb = 0,783. Определим сначала их относительные погрешности. Решение выполним двумя способами: использованием формулы (1.8) и использованием предельных абсолютных погрешностей, как это делалось в предыдущем примере.

В соответствии с формулой (1.8) будем иметь

Напомним, что – это первая значащая цифра числа a, n – общее число значащих цифр в этом числе. Абсолютная относительная погрешность аналогично будет равна

Отсюда

Теперь определим вторым способом. Предельная абсолютная погрешность чисел a и b явно не указаны. Но в этом случае, пользуясь правилом, что при правильной записи приближенного числа указываются только верные цифры, получим Предельные относительные погрешности соответственно будут равны:

Предельная относительная погрешность в этом случае равна 0,144, и она лишь на 0,006 отличается от 0,15, полученной в предыдущем случае. Приведенные примеры говорят о том, что относительную погрешность произведения двух приближенных чисел можно определять, как первым, так и вторым способом.

Определение предельной относительной погрешности частного опирается на теорему, сформулированную и доказанную в [6]. Она гласит, что относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.

Пример 9. Пусть необходимо определить приближенное значение частного двух приближенных чисел из примера 7. Рассуждаем аналогично. Очевидно, что истинное значение частного не превышает величины

поэтому абсолютная предельная погрешность будет

С другой стороны истинная величина частного не может быть меньше, чем

поэтому Соответственно относительные погрешности и будут:

а общая величина погрешности составляет величину, близкую к 14%.