Биномиальное распределение
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q=1–p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.
Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо n раз.
Таким образом, возможные значения X таковы: x1=0, x2=l, x3 = 2, ..., хn+1 = n. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:
где k = 0, 1, 2, .... n.
Эта формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
Таким образом, первый член разложения рn определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях;…; последний член qn определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.
Напишем биномиальный закон в виде таблицы:
X n n–1 ... k ... 0
Р рn npn–1q … Cnkpkqn–k ... qn
Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X – числа выпадений «герба».
Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q=1–1/2=1/2.
При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: x1 =2, х2 =1, х3=0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:
Р2(2) = С22р2= (1/2)2 = 0,25;
P2(1)= С21р2q= 2*(1/2)*(1/2)=0,5;
P2(0)= С20q2= (1/2)2=0,25;
Напишем искомый закон распределения:
X 2 1 0
р 0,25 0,5 0,25
Контроль: 0,25 + 0,5+0,25=1.