Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, А₂, …, А_n независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением, вероятностей противоположных событий ^A_l, ^А₂, ..., ^A_n: P(A)= 1– q₁q₂…q_n

Частный случай. Если события A₁, А₂, …, А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Р(A) = 1 — qⁿ.

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1 = 0,8; р2=0,7; р3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие A) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A₁ (попадание первого орудия), А₂ (попадание второго орудия) и А₃ (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям Аи А3 и А3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны: ql=1–pl=1–0,8=0,2; q2=1–р2=1–0,7=0,3; q3=l–p3=1–0,9 =0,1.

Искомая вероятность

Р (А) = 1 — q1q2q3 = 1 –0,2*0,3*0,1 =0,994.

Пример 2. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие «при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы един раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула P(A)=l — qⁿ.

Приняв во внимание, что, по условию, Р (A)≥0,9, p = 0,4 (следовательно, q=1–0,4 = 0,6), получим 1– 0,6ⁿ≥0,9; отсюда 0,6ⁿ ≤0,1.

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

nlg0,6≤lg0,1.

Отсюда, учитывая, что lg0,6 < 0, имеем n≥lg0,l/lg0,6= –1/1,7782=–1/(–0,2218) = 4,5.

Итак, n≥ 5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ