Элементы теории вероятностей

Задача П 1.1. На полке стоят 10 книг, из них 3 словаря, 4 справочника и 3 учебника. Какова вероятность того, что из пяти наудачу взятых книг окажется 2 словаря, 2 справочника и один учебник?

Решение. В данном случае общее число книг равно 10. Из них 5 книг можно выбрать n различными способами, где

Найдем число m событий, благоприятствующих выбору 2-х словарей (из 3-х имеющихся), 2-х справочников (из 4-х имеющихся) и одного учебника (из 3-х имеющихся). Получим

Следовательно, искомая вероятность вычисляется по формуле:

Ответ:

Задача П 1.2.Баскетболист бросает мяч пять раз. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Найти вероятность того, что он попадет в корзину: а) три раза; б) менее трех раз; в) более трех раз.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:

где n – число выполненных бросков; m – число попаданий мяча из этих n бросков; p – вероятность попадания при одном броске.

В данной задаче n=5, p=0,7.

а) m=3. Следовательно,

б) m<3 или m=1, или m=2. Следовательно, получаем:

в) m>3 или m=5. Следовательно, получаем:

=

Ответ: а) 0,3087; б) 0,16308; в) 0,52822.

Задача П 1.3. В первой урне лежат 5 белых и 10 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили какой-то один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.

Решение. После того, как из второй урны в первую был переложен шар, в первой урне оказалось 16 шаров:

1) или 6 белых и 10 черных, если добавленный шар был белым (одним из тех 3-х, что лежали во второй урне);

2) или 5 белых и 11 черных, если добавленный шар был черным (одним их тех семи, что лежали во второй урне).

Обозначим события: H₁ - взяли из второй урны белый шар, H₂ - взяли из второй урны черный шар.

H₁ и H₂ предшествуют событию А. Они являются попарно несовместными и H₁ + H₂ = Е, т.е. образуют полную группу. Вычислим:

Поэтому по формуле полной вероятности находим:

Ответ:

Задача П 1.4. В партии из 10 деталей имеется 8 новых и две бывших в употреблении. Наудачу отобраны две детали.

а) Составить закон распределения случайной величины Х – числа новых деталей среди отобранных.

б) Вычислить числовые характеристики случайной величины Х.

Решение. а) X – дискретная случайная величина. Она имеет следующие возможные значения: x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ =2. Вероятность этих значений вычислим по формуле:

где s =10 – общее число деталей в партии; n = 8 – число новых деталей в партии; m = 2 – число отобранных деталей; k – число новых деталей среди отобранных.

Тогда получаем:

Контроль: = 1.

Следовательно, искомый закон распределения случайной величины X задается табл. П 1.1:

Таблица П 1.1

X
p

 

б) По определению:

Тогда, пользуясь табл. П 1.1, вычисляем:

Ответ: а) табл. П 1.1; б)

Задача П 1.5. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:

Найти: а) плотность распределения вероятностей

б) числовые характеристики случайной величины X;

в) вероятность попадания величины X в интервал [1; 2,5).

Решение. Рассматриваемая случайная величина X является непрерывной, так как функция F(x)непрерывна на (

Её график изображен на рис. П 1.1.

Рис. П 1.1

а) Так как функция и F(x)связаны равенством

То получаем:

(1)

График функции изображен на рис. П 1.2.

Рис. П 1.2

б) Вычисляем:

в)

Ответ: а) формула (1); б) ; в)