Точечные статистические оценки параметров распределения

Пусть собранный и обработанный статистический материал представлен в виде статистического ряда.

Определение 1. Точечной статистической оценкой параметра а распределения случайной величины называется приближенное значение а* этого параметра, вычисленного по статистическим данным.

Замечание 1. Любая точечная статистическая оценка некоторого параметра, вычисляемая на основе статистического ряда, должна удовлетворять трём требованиям:

· при увеличении числа испытаний она должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру (свойство состоятельности);

· математическое ожидание статистической оценки (как случайной величины при изменении числа испытаний) равно оцениваемому параметру (свойство несмещенности);

· при заданном объёме выборки статистическая оценка имеет наименьшую дисперсию (свойство эффективности).

Определение 2.Статистической оценкой математического ожидания называется среднее арифметическое статистических значений изучаемой случайной величины:

= ,

где m₁+m₂+…+m_k = n.

Замечание 2. Эта оценка математического ожидания обладает всеми свойствами оценок: состоятельности, несмещенности, эффективности.

Определение 3. Смещенной оценкой дисперсии D(x) называется выборочная дисперсия:

D_в=

Замечание 3. Эта оценка является смещенной, так как

M(D_в )= D(x).

Определение 4. Несмещенной оценкой дисперсии D(x)называется исправленная выборочная дисперсия:

s²= D_в= ·

Замечание 4. При расчёте s² можно воспользоваться более удобной формулой:

s²=

Замечание 5. Выборочная дисперсия D_в и исправленная выборочная дисперсия s² обладают свойством состоятельности. Оценка s² не обладает свойством эффективности, но обладает свойством несмещенности, поэтому ее чаще чем D_в используют в качестве приближенного значения дисперсии D(x).

Определение 5. Оценкой среднего квадратического отклонения σ(х) называется квадратный корень из D_в или s²:

σ_в= _в или s = ²

Определение 6. Оценкой вероятности события А в n независимых испытаниях является относительная частота события А:

P*= ,

где m – число появления события А в n испытаниях.

Замечание 6. Эта оценка вероятности события А в n независимых испытаниях обладает свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Замечание 7. Если выборка состоит из вариант x_i громоздкого вида, то для упрощения расчета выборочных точечных оценок параметров следует перейти к условным вариантам:

u_i = ,

где h – шаг между равноотстоящими вариантами; c – так называемый «ложный» нуль. Для них произвести расчет точечных оценок параметров:

= , D_в (u) = , s_u²= · D_в (u).

Затем вычислить искомые точечные оценки:

= ∙ h + c , D_в (x) = h² ∙ D_в (u), s_x² = h² ∙ s_u² .

В качестве числа c обычно выбирают варианту x_i0 , которая расположена в середине статистического ряда или имеет наибольшую частоту.