Точечные статистические оценки параметров распределения

Пусть собранный и обработанный статистический материал представлен в виде статистического ряда.

Определение 1. Точечной статистической оценкой параметра а распределения случайной величины называется приближенное значение а* этого параметра, вычисленного по статистическим данным.

Замечание 1. Любая точечная статистическая оценка некоторого параметра, вычисляемая на основе статистического ряда, должна удовлетворять трём требованиям:

· при увеличении числа испытаний она должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру (свойство состоятельности);

· математическое ожидание статистической оценки (как случайной величины при изменении числа испытаний) равно оцениваемому параметру (свойство несмещенности);

· при заданном объёме выборки статистическая оценка имеет наименьшую дисперсию (свойство эффективности).

Определение 2.Статистической оценкой математического ожидания называется среднее арифметическое статистических значений изучаемой случайной величины:

= ,

где m1+m2+…+mk = n.

Замечание 2. Эта оценка математического ожидания обладает всеми свойствами оценок: состоятельности, несмещенности, эффективности.

Определение 3. Смещенной оценкой дисперсии D(x) называется выборочная дисперсия:

Dв=

Замечание 3. Эта оценка является смещенной, так как

M(Dв )= D(x).

Определение 4. Несмещенной оценкой дисперсии D(x)называется исправленная выборочная дисперсия:

s2= Dв= ·

Замечание 4. При расчёте s2 можно воспользоваться более удобной формулой:

s2=

Замечание 5. Выборочная дисперсия Dв и исправленная выборочная дисперсия s2 обладают свойством состоятельности. Оценка s2 не обладает свойством эффективности, но обладает свойством несмещенности, поэтому ее чаще чем Dв используют в качестве приближенного значения дисперсии D(x).

Определение 5. Оценкой среднего квадратического отклонения σ(х) называется квадратный корень из Dв или s2:

σв= в или s = 2

Определение 6. Оценкой вероятности события А в n независимых испытаниях является относительная частота события А:

P*= ,

где m – число появления события А в n испытаниях.

Замечание 6. Эта оценка вероятности события А в n независимых испытаниях обладает свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Замечание 7. Если выборка состоит из вариант xi громоздкого вида, то для упрощения расчета выборочных точечных оценок параметров следует перейти к условным вариантам:

ui = ,

где h – шаг между равноотстоящими вариантами; c – так называемый «ложный» нуль. Для них произвести расчет точечных оценок параметров:

= , Dв (u) = , su2= · Dв (u).

Затем вычислить искомые точечные оценки:

= ∙ h + c , Dв (x) = h2 ∙ Dв (u), sx2 = h2 ∙ su2 .

В качестве числа c обычно выбирают варианту xi0 , которая расположена в середине статистического ряда или имеет наибольшую частоту.