Задачи с решениями
Задача 7.1. В результате эксперимента получены следующие значения случайной величины X:
3; 6; 8; 11; 6; 10; 7; 9; 7; 3; 4; 8;
7; 9; 4; 9; 11; 7; 8; 4; 10; 5; 6; 7; 2.
Требуется: а) составить статистический ряд;
б) построить статистическое распределение;
в) изобразить полигон распределения.
Решение. а) Объем выборки n = 25.
Построим статистический ряд данной выборки: в первой строке таблицы укажем все различные значения, принимаемые случайной величиной X; во второй строке укажем, сколько раз она приняла эти значения.
Таблица 7.2
| xi | ||||||||||
| mi |
б) Найдем статистическое распределение случайной величины X, для чего в табл. 7.2 заменим вторую строку строкой, содержащей относительные частоты 
.
Таблица 7.3
| xi | ||||||||||
| 
| 
| 
|
|
| 
|
|
|
|
|
Контроль:
 = 1.
|
в) На плоскости Oxy построим точки:
Соединим их (рис. 7.3). Полученная ломаная – полигон данного распределения.
Рис. 7.3
Ответ: а) табл. 7.2, б) табл. 7.3, в) рис. 7.3.
Задача 7.2. В результате эксперимента получены следующие значения случайной величины X:
16; 17; 9; 13; 21; 11; 7; 7; 19; 5; 17; 5; 20;
18; 11; 4; 6; 22; 21; 15; 15; 23; 19; 25; 1.
Требуется: а) построить интервальный статистический ряд, разбив промежуток [0; 25] на 5 промежутков равной длины;
б) построить гистограмму относительных частот.
Решение. а) Объем выборки n = 25. По экспериментальным данным составим таблицу (табл. 7.4). В её первой строке укажем промежутки разбиения:
[0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20) [20; 25].
Во второй строке укажем соответствующие числа mi - сколько раз случайная величина X приняла значение из этого промежутка.
Таблица 7.4
| [ai; ai+1) | [0; 5) | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25] |
| mi |
Контроль: 2 + 6 + 3 + 8 + 6 = 25.
По табл. 7.4 составим интервальный статистический ряд, где во второй строке указаны относительные частоты (табл. 7.5).
Таблица 7.5
| [ai; ai+1) | [0; 5) | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25] |
|
|
| 
|
| 
|
|
б) На оси Ox отложим промежутки:
[0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20) [20; 25]
интервального статистического ряда, а на оси Oy – относительные частоты. Построив по этим данным прямоугольники с основаниями [ai; ai+1) и высотами 
, получим ступенчатую фигуру – гистограмму (рис. 7.4).
Рис. 7.4
Ответ: а) табл. 7.4; б) рис. 7.5.
Задача 7.3. Дан статистический ряд
| хi |
| 0,4 | 0,1 | 0,3 | 0,2 |
Найти статистическую функцию распределения и построить её график.
Решение. Воспользовавшись формулой
) 
,
где n – объем выборки; mx – число выборочных значений, меньших x, вычисляем:
0 при 
0,4 при 15< 
≤16,
) = 0,5 при 16< 
≤17, (1)
0,8 при 17< ≤18,
1 при ≥18.
Построим график функции ).
Рис. 7.5
Ответ: а) формула (1); б) рис. 7.5.
Задачи
7.1. В результате испытаний получены следующие статистические значения случайной величины X:
-0,9; 0,1; -2,9; 1,1; 5,1; 0,1; -6,9; 1,1; -3,9; -0,9;
5,1; -8,9; -2,9; 0,1; 1,1; 6,1; 3,1; 0,1; 1,1; -2,9;
-2,9; 0,1; -3,9; -0,9; 0,1; 3,1; 0,1; 1,1; 3,1; 0,1.
Требуется: а) составить статистический ряд;
б) найти статистическую функцию распределения );
в) изобразить полигон относительных частот.
7.2.В результате испытаний получены следующие статистические значения случайной величины X:
1,36; 1,37; 1,35; 1,31; 1,34; 1,36; 1,38; 1,35; 1,39; 1,40;
1,33; 1,34; 1,36; 1,35; 1,37; 1,41; 1,36; 1,34; 1,39; 1,36;
1,35; 1,37; 1,38; 1,40; 1,37; 1,36; 1,35; 1,34; 1,37; 1,38.
Требуется: а) составить статистический ряд;
б) найти статистическую функцию распределения );
в) изобразить полигон относительных частот.
7.3. В результате испытаний получены следующие статистические значения случайной величины X:
3,45; 3,47; 3,47; 3,43; 3, 46; 3,44; 3,40; 3,45; 3,41; 3,42;
3,47; 3,49; 3,41; 3,48; 3,43; 3,40; 3,43; 3,47; 3,45; 3,44;
3,41; 3,40; 3,48; 3,46; 3,51; 3,39; 3,50; 3,50; 3,47; 3,38;
3,44; 3,40; 3,40; 3,44; 3,47; 3,53; 3,46; 3,46; 3,52; 3,47;
3,41; 3,44; 3,47; 3,45; 3,44; 3,45; 3,47; 3,42; 3,44; 3,50;
3,45; 3,50; 3,42; 3,48; 3,40; 3,45; 3,48; 3,48; 3,46; 3,47;
3,44; 3,44; 3,47; 3,43; 3,44; 3,47; 3,44; 3,45; 3,44; 3,46;
3,46; 3,44; 3,44; 3,44; 3,44; 3,46; 3,44; 3,42; 3,50; 3,46;
3,48; 3,43; 3,40; 3,46; 3,46; 3,47; 3,45; 3,48; 3,42; 3,46;
3,48; 3,38; 3,45; 3,43; 3,52; 3,43; 3,50; 3,51; 3,41; 3,52.
Построить: а) интервальный статистический ряд;
б) статистический ряд, рассматривая в качестве значений середины интервалов;
в) статистическую функцию распределения );
г) гистограмму относительных частот.
7.4. При измерении диаметров ста подшипниковых шариков, выбранных из большой партии шариков для определения стандартности, получены следующие результаты:
8,31; 8,42; 8,37; 8,40; 8,40; 8,30; 8,30; 8,42; 8,32; 8,29;
8,33; 8,36; 8,34; 8,37; 8,32; 8,36; 8,38,8,38; 8,33; 8,36;
8,40; 8,36; 8,32; 8,36; 8,36; 8,30; 8,30; 8,33; 8,35; 8,37;
8,37; 8,30; 8,41; 8,34; 8,33; 8,37; 8,34; 8,38; 8,29; 8, 34;
8,31; 8,36; 8,37; 8,30; 8,41; 8,34; 8,34; 8,37; 8,354 8,40;
8,34; 8,36; 8,37; 8,37; 8,41; 8,35; 8,38; 8,33; 8,36; 8,36;
8,36; 8,37; 8,36; 8,40; 8,37; 8,34; 8,37; 8,32; 8,35; 8,36;
8,37; 8,41; 8,36; 8,36; 8,36; 8,40; 8,34; 8,40; 8,34; 8,33;
8,35; 8,37; 8,34; 8,36; 8,37; 8,37; 8,35; 8,36; 8,34; 8,42;
8,36; 8,33; 8,34; 8,35; 8,36;8,32; 8,38; 8,32; 8,36; 8,37;
Построить: а) интервальный статистический ряд;
б) статистический ряд, рассматривая в качестве значений середины интервалов;
в) статистическую функцию распределения );
г) гистограмму относительных частот.
Ответы
7.1. а)
| хi | -8,9 | -6,9 | -3,9 | -2,9 | -0,9 | 0,1 | 1,1 | 3,1 | 5,1 | 6,1 |
 i
| ||||||||||
|
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
0 при 
-8,9,
1/30 при -8,9 < ≤ -6,9,
1/15 при -6,9 < ≤ -3,9,
2/15 при -3,9 < ≤ -2,9,
4/15 при -2,9 < ≤ -0,9,
б) ) = 11/30 при -0,9 < ≤ 0,1,
19/30 при 0,1 < ≤ 1,1,
4/5 при 1,1 < ≤ 3,1,
9/10 при 3,1 < ≤ 5,1,
29/30 при 5,1 < ≤ 6,1,
1 при > 6,1.
в)
7.2. а)
| хi | 1,31 | 1,33 | 1,34 | 1,35 | 1,36 | 1,37 | 1,38 | 1,39 | 1,40 | 1,41 |
| i
| ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 при 1,31,
1/30 при 1,31 < ≤ 1,33,
1/15 при 1,33 < ≤ 1,34,
1/5 при 1,34 < ≤ 1,35,
11/30 при 1,35 < ≤ 1,36,
б) ) = 17/30 при 1,36< ≤ 1,37,
11/15 при 1,37 < ≤ 1,38,
5/6 при 1,38 < ≤ 1,39,
9/10 при 1,39 < ≤ 1,40,
29/30 при 1,40 < ≤ 1,41,
1 при > 1,41.
7.3. а)
| [хi; хi+1) | i
|
|
| [3,38; 3,40) | 0,03 | |
| [3,40; 3,42) | 0,12 | |
| [3,42; 3,44) | 0,12 | |
| [3,44; 3,46) | 0,27 | |
| [3,46; 3,48) | 0,25 | |
| [3,48; 3,50) | 0,09 | |
| [3,50; 3,52) | 0,08 | |
| [3,52; 3,54] | 0,04 |
Указания:
1) Из заданной выборки найти:
xнаиб = 3,53, xнаим = 3,38, xнаиб - xнаим = 0,15.
2) Число интервалов определить по формуле:
k = 1+3,322 · lg n = 1 + 3,322· lg 100 = 1+6,644 = 7,644 ≈ 8.
3) Взять в качестве шага, то есть длины интервалов, число:
0,15 : 8 = 0,019 ≈ 0,02.
4) Из данной выборки найти i – число значений, попавших в промежуток [хi; хi+1).
 i
| 3,39 | 3,41 | 3,43 | 3,45 | 3,47 | 3,49 | 3,51 | 3,53 |
| i
| ||||||||
|
| 0,03 | 0,12 | 0,12 | 0,27 | 0,25 | 0,09 | 0,08 | 0,04 |
б)
0 при 3,39,
0,03 при 3,39 < ≤ 3,41,
0,15 при 3,41 < ≤ 3,43,
0,27 при 3,43 < ≤ 3,45,
0,54 при 3,45 < ≤ 3,47,
в) ) = 0,79 при 3,47< ≤ 3,49,
0,88 при 3,49 < ≤ 3,51,
0,96 при 3,51 < ≤ 3,53,
1 при > 3,53.
г)
7.4. а)
| [хi; хi+1) | i
|
|
| [8,29; 8,31) | 0,08 | |
| [8,31; 8,33) | 0,08 | |
| [8,33; 8,35) | 0,20 | |
| [8,35; 8,37) | 0,28 | |
| [8,37; 8,39) | 0,22 | |
| [8,39; 8,41) | 0,07 | |
| [8,41; 8,43] | 0,07 |
| i
| 8,30 | 8,32 | 8,34 | 8,36 | 8,38 | 8,40 | 8,42 |
| i
| |||||||
|
| 0,08 | 0,08 | 0,20 | 0,28 | 0,22 | 0,07 | 0,07 |
б)
0 при 8,30,
0,08 при 8,30 < ≤ 8,32,
0,16 при 8,32 < ≤ 8,34,
в) ) = 0,36 при 8,34 < ≤ 8,36,
0,64 при 8,36 < ≤ 8,38,
0,86 при 8,38< ≤ 8,40,
0,93 при 8,40 < ≤ 8,42,
1 при > 8,42.
г)
