Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Определение 2. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ > 0, если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:

Кривая распределения f(х) и график функции распределения F(х) случайной величины Х приведены на рис. 6.5 и рис. 6.6.

 

 

Рис. 6.5 Рис. 6.6

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:

M(X) = , D(X)= , .

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:

Р(a < Х < b)= , если (a;b)

Задача 6.2.Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) функцию распределения;

в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.

Решение. По условию математическое ожидание M(X) = = 100, откуда λ = 1/100 = 0,01.

Следовательно,

a)

б)

в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:

Р(X >120) = 1 F(120) =1 (1 е^-1,2) = е^-1,2 ≈ 0,3.