Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Понятия математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X), введенные ранее для дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

· Математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

при условии, что этот интеграл сходится.

· Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

· Среднее квадратическое отклонение σ(Х)непрерывной случайной величины определяется равенством:

.

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

Задача 5.3.Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x):

Найти M(X), D(X), σ(Х), а также P(1 < х < 5).

Решение:

M(X)= =

+ =8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Задачи

5.1.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(‒1/2 < Х < 1/2).

5.2.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(2π /9 < Х < π /2).

5.3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

5.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

5.5. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X), D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).

5.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X), D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку [1; 2,5].

5.7. Функция f(х) задана в виде:

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

5.8.Функция f(x) задана в виде:

5.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.

5.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) меньше 4.

5.11. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х > М(Х)).

5.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х ≤ М(Х)).

5.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:

Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей.

5.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти число с.

5.15.Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [-2;2] (рис. 5.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

Рис. 5.4 Рис. 5.5

5.16. Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0;4) (рис. 5.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

Ответы

5.1.