Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии наступления одного из несовместных событий , , … , которые образуют полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Пусть известны вероятности этих событий (гипотез) и условные вероятности события А при условии наступления каждого из них. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

Теорема 1 (формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии наступления одного из попарно несовместных событий , , … , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Замечание 1. Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса (по имени английского математика, который её вывел; опубликована в 1764 г.). Она позволяет переоценить вероятность гипотезы , принятую до опыта, по результатам уже проведённого опыта, т.е. вычислить условную вероятность гипотезы при условии наступления события А.

Теорема 2 (формула Байеса или теорема гипотез). Пусть попарно несовместные события , , … образуют полную группу. Тогда условная вероятность события (i = ) при условии, что событие А наступило, задаётся формулой:

( ) = = .