Задачи с решениями

Задача 2.1. Монета подбрасывается два раза.

а) Опишите полную группу возможных элементарных событий.

б) Если событие А – выпало не менее одного "орла", В – выпало не менее одной "решки", укажите, что собой представляют события:

, , ?

Решение. В данной задаче испытанием является подбрасывание монеты дважды.

а) Обозначим события:

- при первом подбрасывании выпал "орёл", при втором - "решка",

- при первом подбрасывании выпала "решка", при втором - "орёл",

– оба раза выпал "орёл",

– оба раза выпала "решка".

Тогда перечисленные события , , , образуют полную группу, так как при двух подбрасываниях монеты обязательно произойдёт одно из них. Значит, справедливо равенство:

+ + + = E.

Кроме того, никакие два из указанных событий не могут наступить одновременно. Следовательно, имеет место равенство:

∙ = при i ≠ j.

Таким образом, указанные события попарно несовместны. Причём наступление любого из событий , , , не имеет преимущества перед остальными, а значит, эти события являются равновозможными.

Таким образом, события , , , образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий. Следовательно, они являются в данном испытании полной группой элементарных событий.

б) Так как - не выпало ни одного "орла", то = – оба раза выпала "решка". Аналогично, - не выпало ни одной "решки", следовательно, = - оба раза выпал "орёл". А так как А означает, что выпадает не менее одного раза "орёл", то А = + + . Аналогично заключаем:

В = + + . Следовательно, по определению суммы и произведения событий получаем:

= ,

= ( + + ) ∙ ( + + ) = + .

Ответ: а) , , , ; б) = , = .

Задача 2.2. В ящике находится 10 шаров: 3 белых и 7 чёрных. Из ящика наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что этот шар:

а) белый,

б) чёрный?

Решение. В данной задаче полную группу элементарных событий составляют 10 событий, так как выбор любого одного шара можно осуществить 10 способами. Из этих событий только 3 благоприятствуют выбору белого шара и 7 – выбору чёрного. Поэтому, если А – выбор белого шара, то Р(А) = = 0,3; если В – выбор чёрного шара, то Р(В) = = 0,7.

Ответ: а) 0,3 ; б) 0,7.

Задача 2.3. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад выбираются одна за другой три карточка и располагаются в ряд (в порядке появления) слева направо. Какова вероятность, что получится слово "ДВА"?

Решение. Выбор трёх карточек из имеющихся пяти можно осуществить способами, так как порядок карточек имеет значение в данной задаче. Вычисляем: = 5∙4∙3 =60.

Значит, число всех возможных элементарных событий n = 60. Из этих событий только одно благоприятствует событию – получению слова "ДВА", следовательно, m = 1. Итак, Р = .

Ответ: .

Задача 2.4. В ящике 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Из ящика наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что

а) оба шара белые?

б) оба шара чёрные?

в) один шар белый, другой чёрный?

Решение. Число выбора двух шаров из десяти имеющихся определяется числом всевозможных сочетаний из 10 по 2: = = 45.

Значит, полную группу элементарных событий рассматриваемого испытания (выбор двух шаров из десяти, находящихся в ящике) составляют 45 событий. Следовательно, n = 45.

а) Если из элементарных событий рассматривать только те, которые состоят в выборе двух белых шаров, то находим m = = = 15.

Следовательно, вероятность того, что оба шара будут белыми, вычисляется по формуле:

= = = .

б) Если рассматривать событие – выбор двух чёрных шаров, то число благоприятствующих ему элементарных событий равно:

m = = = 6.

Значит, вероятность выбора двух чёрных шаров вычисляется по формуле:

= = = .

в) Если рассматривать событие – выбор одного белого и одного чёрного шаров, то для него число благоприятствующих элементарных событий равно:

m = ∙ = 6 ∙ 4= 24.

Значит, вероятность выбора одного белого и одного чёрного шаров вычисляется по формуле:

= = = .

Ответ: а) , б) , в) .

Задача 2.5. Стрелок стреляет по мишени, разделённой на четыре области. Вероятность попадания в первую область 0,4, во вторую – 0,3. Найдите вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадёт либо в первую область, либо во вторую.

Решение. Обозначим события:

А – стрелок попадает в первую область, В – стрелок попадает во вторую область. Эти события несовместны, так как они не могут наступить одновременно (попадание пули в одну область мишени исключает её попадание в другую область). Поэтому воспользуемся теоремой 1 (вероятность суммы несовместных событий), откуда находим:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 0,4+ 0,3 = 0,7.

Ответ: 0,7.

Задача 2.6. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру (валет, дама, король, туз) любой масти или карту трефовой масти?

Решение. Обозначим события:

А – извлечение из колоды карты – фигуры, В – извлечение из колоды карты трефовой масти.

Необходимо найти вероятность суммы этих событий. События А и В совместны, так как они могут наступить одновременно, если будет извлечена карта – фигура трефовой масти. Поэтому для подсчёта вероятности суммы этих событий используем теорему 2 (вероятность суммы совместных событий):

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∙ В).

В рассматриваемой задаче Р(А) = = , так как всего элементарных исходов 52, что равно числу карт в колоде, из них 16 благоприятствуют событию А, что равно числу карт – фигур в колоде. Аналогично вычисляем: Р(В) = (в колоде 13 карт трефовой масти). Р(А ∙ В)= = (в колоде 4 карты – фигуры трефовой масти).

Итак, находим: Р(А+В) = + – = .

Ответ: .

Задача 2.7. Два орудия стреляют по одной цели. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,6, для второго вероятность попадания равна 0,5. Какова вероятность того, что в цель попадут оба орудия?

Решение. Обозначим события:

А – попадание в цель первого орудия, В – попадание в цель второго орудия.

Отметим, что А и В – события независимые, то есть наступление одного из них не влияет на наступление или ненаступление другого. Поэтому воспользуемся теоремой 3 (вероятность произведения независимых событий):

P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B) = 0,6 ∙ 0,5 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Задача 2.8. Для Московской области среднее число дождливых дней в августе равно 15. Какова вероятность, что первые два дня августа не будут дождливыми?

Решение. Обозначим события:

А – 1 августа не будет дождя, В – 2 августа не будет дождя.

Необходимо рассмотреть событие А ∙ В – 1 и 2 августа не будет дождя. В данной задаче Р(А) = , так как в августе 31 день, а не дождливых дней из них 31 - 15 = 16.

При вычислении Р(В) результат зависит от того, будет ли дождь 1-го августа. Следовательно, необходимо найти условную вероятность (В) – вероятность того, что 2-го августа не будет дождя в предположении, что 1 августа –день без дождя. Тогда получаем: (В) = = ,

Так как в августе осталось 30 дней, начиная со 2 августа, из них не дождливых дней осталось 15 (ведь один не дождливый день пришёлся по предположению на 1 августа). Итак, по теореме 4 (вероятность произведения зависимых событий) получаем:

P(A ∙ B) = P(A) ∙ (В) = ∙ = .

Ответ: .

Задача 2.9. В ящике 10 деталей, среди которых 6 стандартных. Какова вероятность того, что среди трёх наугад взятых деталей окажется хотя бы одна стандартная?

Решение. События "среди взятых деталей окажется хотя бы одна стандартная" и "среди взятых деталей нет ни одной стандартной" – противоположные события, так как наступление одного из этих событий исключает наступление другого.

Обозначим:

А – среди трёх взятых деталей есть хотя бы одна стандартная, – среди трёх взятых деталей нет ни одной стандартной.

По следствию 2 из теоремы 1 известно, что Р(А) = 1 – Р( ). Найдём Р( ). Общее число элементарных событий в этой задаче – это число способов выбора трёх деталей из десяти, находящихся в ящике:

n = = = 120.

Число нестандартных деталей равно 10 – 6 = 4. Число элементарных исходов, благоприятствующих событию : m= = = = 4.

Тогда Р( ) = .

Следовательно, Р(А) = 1 – Р( )= = .

Ответ: .

Задачи

2.1. Два шахматиста играют одну партию. Событие А – выиграет первый игрок, В – выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

2.2. Подбрасывают две монеты. Событие А – выпадут "орёл" и "решка", В – выпадут две "решки". Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

2.3. События: А – хотя бы один из проверяемых приборов бракованный, В – все проверяемые приборы доброкачественные. Что означают события: а) А+В; б) А∙В; в) ; г) ?

2.4. Мишень состоит из трёх кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами , , , причём < < . Событие - попадание в круг радиуса , - попадание в круг радиуса , - попадание в круг радиуса . Что означают события: а) + + , б) ∙ ∙ , в) ∙ ?

2.5. В ящике лежат 15 шаров: 5 чёрных и 10 белых. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар а) белый? б) чёрный? в) красный?

2.6. Из колоды (36 карт) извлекают одну карту. Какова вероятность, что извлечённая карта окажется а) тузом; б) картой – фигурой (валет, дама, король, туз)?

2.7. В ящике лежат 15 шаров: 5 чёрных и 10 белых. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что а) оба белые? б) оба чёрные? в) вынуты шары разных цветов?

2.8. В ящике 5 белых и 4 чёрных шара. Наугад вынимают два шара. Какое событие более вероятно: А – вынуты шары одного цвета, В – вынуты шары разных цветов?

2.9. В мастерскую для ремонта поступило 10 часов марки "Слава". Известно, что 6 штук из них нуждаются в общей чистке механизма. Мастер берёт первые попавшиеся 5 часов. Какова вероятность, что двое часов из взятых мастером нуждаются в общей чистке механизма?

2.10. В автобусе было 4 девушки и 5 юношей. На остановке вышли 6 человек. Какова вероятность того, что среди них 3 девушки и 3 юноши?

2.11. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях является чётным числом, не превышающим шести?

2.12. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равна шести?

2.13. На пяти одинаковых карточках написаны буквы Т,У,К,Б,Е. Карточки тщательно перемешаны. Извлекаются наудачу поочерёдно по одной карточке и укладываются слева направо. Какова вероятность того, что получится слово "БУКЕТ"?

2.14. Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал слово "КОЛОБОК", составленное из букв разрезной азбуки, и собрал вновь. Какова вероятность того, что ребёнок собрал слово верно?

2.15. В группе 25 студентов. Из них по математике отлично успевают 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6 и слабо – 2. Преподаватель, не знакомый с группой, вызывает одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный студент окажется отличником или хорошо успевающим?

2.16. В корзине 5 красных яблок, 6 жёлтых и 4 зелёных. Наугад вынимают одно яблоко. Какова вероятность того, что оно окажется жёлтым или зелёным?

2.17. Из колоды (36 карт) извлекают карту. Какова вероятность того, что это будет карта бубновой масти или туз?

2.18. Подбрасывают игральную кость. Какова вероятность того, что количество выпавших очков будет кратно двум или трём?

2.19. Буквы, составляющие слово "ОДЕССА", написаны на шести карточках. Карточки перемешаны и положены в пакет. Чему равна вероятность того, что, вынимая карточки по одной и записывая соответствующие буквы в ряд слева направо, мы получим слово "САД", если

а) после извлечения карточка снова возвращается в пакет и все они снова перемешиваются?

б) извлечённая карточка в пакет не возвращается?

2.20. Буквы, составляющие слово "КОЛОБОК", написаны на карточках, которые сложены в пакет и перемешаны. Чему равна вероятность того, что, вынимая карточки по одной и записывая соответствующие буквы в ряд слева направо, мы получим слово "БЛОК", если

а) после извлечения карточка снова возвращается в пакет и все они снова перемешиваются?

б) извлечённая карточка в пакет не возвращается?

2.21. Рабочий обслуживает три станка, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, для второго станка такая вероятность равна 0,8, для третьего станка – 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа

а) ни один из станков не потребует внимания рабочего?

б) какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего?

в) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

2.22. Три стрелка стреляют по одной мишени с вероятностями попадания = 0,6, = 0,8, = 0,7. Какова вероятность того, что

а) в мишень попадёт только один из них?

б) в мишень попадут двое?

в) мишень будет поражена?

2.23. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов, соответственно, равны 0,1, 0,15 и 0,2. Какова вероятность того, что тока в цепи не будет (т. е. откажет хотя бы один элемент)?

2.24. Экспедиция издательства отправляет газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в каждое почтовое отделение равна 0,9. Какова вероятность того, что оба почтовых отделения получат газеты

а) с опозданием?

б) вовремя?

2.25. Среди 10 дружинников 3 девушки и 7 юношей. Требуется путём жеребьёвки выбрать на дежурство трёх дружинников. Чему равна вероятность того, что при извлечении одного за другим трёх жребиев окажутся выбранными 3 юноши?

2.26. Два игрока поочерёдно извлекают шары (без возвращения) из урны, содержащей 1 белый и 4 чёрных шара. Выигрывает тот, кто первым вытащит белый шар. Найдите вероятности выигрыша для каждого игрока.

2.27. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий? Какое наибольшее и какое наименьшее значения может принимать произведение вероятностей противоположных событий?

2.28. Многолетними наблюдениями установлено, что в данном районе в сентябре 10 дней бывают дождливыми. Совхоз должен в течение первых трёх дней сентября выполнить определённую работу. Какова вероятность того, что ни один из трёх этих дней не будет дождливым?

2.29. В конверте среди 20 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу взяты 4 фотографии. Какова вероятность того, что среди них окажется разыскиваемая?

2.30. В записанном номере телефона стёрлись последние три цифры. Найдите вероятности событий:

а) стёрлись различные цифры, отличные от 1, 3 и 5;

б) стёрлись одинаковые цифры;

в) две из стёршихся цифр совпадают.

Ответы

2.1.С – ничейный исход; 2.2. С – выпало два "орла"; 2.3. а) А + В = Е, б) А ∙ В = , в) = В, г) = А; 2.4. а) ; б) ; в) попадание в кольцо, ограниченное окружностями с радиусами и ; 2.5. а) ; б) ; в) 0; 2.6. а) ; б) ;2.7. а) ; б) ; в) ; 2.8. P(A)<P(B), так как Р(А)= , Р(В)= ; 2.9. ; 2.10. ; 2.11. ; 2.12. ; 2.13. ; 2.14. ; 2.15. ; 2.16. ; 2.17. ; 2.18. ;2.19. а) ; б) ; 2.20. а) ; б) ; 2.21. а) 0,612; б) 0,329; в) 0,388; 2.22. а) 0,188; б) 0,451; в) 0,976; 2.23. 0,388; 2.24. а) 0,01; б) 0,81; 2.25. ; 2.26. ; ; 2.27. 1; - наибольшее; 2.28. ; 2.29. 0,2; 2.30. а) 0,21; б) 0,01; в) 0,27.