Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 1 (теорема суммы несовместных событий). Вероятность наступления одного из двух несовместных событий (безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В)= Р(А)+ Р(В).

Следствие 1. Вероятность наступления одного из нескольких попарно несовместных событий (безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий:

Р( + + … + ) = Р( ) + Р( ) + … + Р( ).

Следствие 2. Вероятность события А равна единице минус вероятность его противоположного события Ā:

P(A) = 1 – P(Ā).

Теорема 2 (вероятность суммы совместных событий). Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного наступления:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A ∙ B).

Определение 1. Условной вероятностью P_A(B) называется вероятность события В при условии, что событие А уже наступило.

Теорема 3 (вероятность произведения двух независимых событий). Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B).

Следствие 3. Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P (A₁· A₂· … ·A_n) = P (A₁) · P (A₂) · … · P (A_n).

Теорема 4 (вероятность произведения двух зависимых событий). Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие наступило:

P(A ∙ B) = P(A) ∙ P_A(В).

Следствие 4. Вероятность совместного наступления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже наступили:

Р(A₁· A₂· … ·A_n)= P(A₁)∙ (A₂)∙ ( ) ∙ … ∙ .