Операции над векторами

1. Умножение на скаляр: , где a – число или скалярная величина. Каждая компонента есть каждая компонента , умноженная на a : .

2. Сложение двух векторов. означает .

3. Скалярное произведение векторов определяется формулами . Очевидно, скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, а скалярное произведение колинеарных (параллельных) векторов равно произведению их длин.

4. Квадрат вектора есть скалярное произведение его на себя: .

5. Векторное произведение есть вектор, определяемый как определитель

Вектор направлен ортогонально к плоскости, в которой лежат вектора , а его длина равна . Очевидно, векторное произведение колинеарных векторов равно нулю.

Векторное поле графически изображают: 1) стрелками; 2) линиями тока; 3) эпюрами в проекциях.

Оператор действует на скалярную функцию или вектор, в результате получается новая функция или вектор. Например, оператор дифференцирования , действуя на функцию f (x) дает новую функцию – ее производную g(x) = f ′(x) .

Функционал. Функционал y = F(f) действует на функцию, в результате получается скаляр (число). Таким образом, с помощью функционала каждой функции ставится в соответствие число.

Элементы тензорного анализа. В МСС оперируют с тензорными полями, компоненты тензоров являются функциями координат и времени.

Пусть произвольный вектор задан компонентами в основном (ковариантном) и взаимном (контрвариантном) базисе:

Отметим, что для ортогональных систем координат основной и взаимный базисы совпадают. Далее будем использовать только ортогональные системы координат. В современной научной и учебной литературе используется символьная форма записи. Такая форма записи не зависит от системы координат. В частности, при такой форме записи используются объекты называемые тензорами, которые состоят из набора скалярных функций и не зависящий от системы координат (инвариантность относительно преобразования координат). Выше мы рассматривали простейшие тензоры: скаляр и вектор. Тензор характеризуется рангом, который можно определить как количество индексов, используемых для перечисления входящих в него скалярных функций. Так, скаляр – это тензор нулевого ранга, а вектор – это тензор первого ранга. Не все свойства сплошной среды можно описать с помощью этих простейших тензоров; в частности широко используются тензоры второго ранга (диадики) с двухиндексными компонентами , каждая из которых является, вообще говоря, скалярной функцией точки пространства. В трехмерном пространстве индексы i, j изменяются от 1 до 3, так что тензор второго ранга содержит 9 компонент. Эти компоненты удобно представить в виде матрицы:

При решении конкретных задач МСС приходится переходить от символьной формы записи уравнений, к записи уравнений в конкретной системе координат. При этом удобно использовать единичные вектора базиса и так называемые физические компоненты векторов и тензоров. Единичный базис можно ввести следующим образом:

Здесь - метрический тензор.

В ортогональной системе координат метрический имеет диагональный вид:

В этом случае для символьной записи вводят коэффициенты Ляме:

В декартовой системе координат:

.

 

В цилиндрической системе координат:

.

 

В сферической системе координат:

.

Математические действия с тензорами производятся по тем же правилам, что и с матрицами. Среди тензорных операций, помимо тривиальных операций сложения тензоров и умножения тензора на число, выделим операции умножения тензоров второго ранга, тождественное умножению матриц:

.

Для нас важно, что если какая то характеристика среды описывается диадикой , то ее значение в направлении, заданном единичным вектором , есть вектор . Так как тензора второго ранга определяются матрицами, то часто используется понятие следа тензора (матрицы), который равен сумме диагональных элементов:

.

В механике при символьной форме записи широко используется оператор Гамильтона:

.

Переход к физическим компонентам в ортономируемых системах координат по следующим формулам:

Градиент скаляра. - вектор.

В декартовой системе координат:

.

 

В цилиндрической системе координат:

.

 

В сферической системе координат:

.

 

Градиент вектора. - тензор второго ранга.

В декартовой системе координат:

.

 

В цилиндрической системе координат:

.

 

В сферической системе координат:

.

Дивергенция вектора. - скаляр.

В декартовой системе координат:

.

 

В цилиндрической системе координат:

.

 

В сферической системе координат:

.

Дивергенция тензора. - вектор

В декартовой системе координат:

.

 

В цилиндрической системе координат:

.

 

В сферической системе координат:

.

Приложение.2 Программа Long_01 для расчета характеристик длинных трубопроводов.

Данная программа предназначена для расчета длинных трубопроводов, когда значениями местных гидравлических сопротивлений можно пренебречь, расчетные формулы и алгоритм приведены в параграфе 3.5. Для работы с программой достаточно активировать файл Long_01.exe, после этого на экране монитора появляется заставка (рис.П.1). Далее на экране последовательно появляются меню, в которых пользователь может задавать параметры трубопроводной системы: количество участков, параметры нефти, и условия истечения (рис.П.2), параметры каждого из участков (рис.П.3). После задания исходных данных и расчета параметров системы на экран выводится график профиля трубопровода, график изменения давления в трубопроводе, график гидравлического уклона (рис.П.4). Результаты расчета в текстовом виде выводятся в файл Long_01.гez.

Рис.П.1.

Рис.П.2.

Рис.П.3.

Рис.П.4.

[1] Континуум (от лат. continuum — непрерывное) — непрерывное.

[2] состоящие из одного и того же вещества.

[3] В частности в жидкости нет растворенных в ней веществ.

[4] Уравнение (1.3.4) получено на основе известных опытных законов Бойля-Мариота (pv=const, при T=const), Гей-Люсака (v=v₀(1+aT), при p=const) французским инженером Клайпероном в 1834г. Причем этот результат был получен без привлечения данных о молекулярной структуре вещества. Бенуа́ Поль Эми́ль Клапейро́н (фр. Benoît Paul Émile Clapeyron; 26 февраля 1799, Париж — 28 января 1864, там же) — французский физик и инженер. Учился в парижской политехнической школе (1816—1818). В 1820 отправился со своим товарищем Ламе в Россию, где был профессором в институте путей сообщения. Вернувшись в 1830 во Францию, Клапейрон участвовал в постройке многих железных дорог и составил множество проектов по постройке мостов и дорог. В 1834 г. вывел уравнение состояния идеального газа, объединяющее закон Бойля – Мариотта, закон Гей-Люссака и закон Авогадро, обобщённое в 1874 г. Д.И. Менделеевым (уравнение Менделеева – Клапейрона).

[5] Молeкулярная масса – (ранее молекулярный вес) безразмерная величина равная средней массы молекулы природной смеси изотопов вещества к 1/12 массы атома изотопа ¹²С.

Массовое число – общее число нуклонов (протонов и нейтронов) в атомном ядре. Массовое число указывается слева вверху символа изотопа. ²³⁵U

Молярная масса – физическая величина, равная отношению массы к количеству вещества. В системе СИ кг/моль. M=m/n, m – масса в кг, n – количество вещества в молях. Численное значение равно M_r/1000, где M_r – молекулярная масса.

Атомная единица массы –а.е.м. масса, равная 1/12 массы атома изотопа ¹²С. 1а.е.м.=1,66054×10^-27кг.

 

[6] Частица в понимании МСС.

[7] Более подробно смотри в приложении 1.

[8] Идельчик И. Е. Справочник по rидравлическим сопротивлениям /Под ред. М. О. Штейнберrа.­ 3-е изд., перераб. и доп.­ -М.: Машиностроение, 1992. -­672 c.

 

[9] Более полно с проблемой можно ознакомиться в монографии: Абрамович Г.Н., Гиршкович Т.А., Крашенниников С.Ю., Секундов А.Н., Смирнова И.М. Теория турбулентных струй. М.: Наука, 1984. - 716с.

[10] Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. ч.I М.: Наука, 1987. –464с, ч.II М.: Наука, 1987. 360с., Стернин Л.И., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А., Подвысоцкий А.М. Двухфазные моно-и полидисперсные течения газа с частицами. М.: Машиностроение, 1980.-172с.

[11] ГилиискийМ.М., Стасенко А.Л. Сверхзвуковые газодисперсные струи. М.: Машиностроение, 1990. 176 с.

Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин Л.Е. и др. Механика многофазных сред. Итоги науки и техники. Серия “Гидромеханика” . т.6, М.: 1972, с.93-174.

Стернин Л.И., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А., Подвысоцкий А.М. Двухфазные моно - и полидисперсные течения газа с частицами. – М.: Машиностроение, 1980.-172с.

Ивандаев А.И., Кутушев А.Г., Нигматулин Р.И. Газовая динамика многофазных сред. Ударные и детонационные волны в газовзвесях. Итоги науки и техники. Серия “Механика жидкости и газа” . т.16, М.: 1981, с.209-274.

[12] Хендерсон С.В. Коэффициент сопротивления сферы в течениях разреженного газа и сплошной среды // Ракетная Техника и Космонавтика, 1976. т.16, №4, с.5-7.

Хендерсон С.В. Ответ автора Уолшу // Ракетная Техника и Космонавтика, 1977. т.15, №6, с.150-151.