Поток гидродинамической величины через поверхность.

Законы механики формулируются для выделенных механических систем, или совокупностей физических тел. Для сплошной среды это жидкий объём , т.е. выделенный движущийся объём сплошной среды, сохраняющий при своём движении все составляющие его части (жидкие частицы). При этом поверхность его ограничивающая в общем случае также изменяется во времени. Это понятие соответствует лагранжеву методу описания движения текучих тел, а сам объем называется Лагранжевым.

Эйлеров метод позволяет использовать для решения задач гидромеханики выделенную часть пространства, обычно неподвижную (не связанную с движением среды), которую называют контрольным объёмом. Контрольный объём или Эйлеров ограничивается контрольной же неподвижной поверхностью , сквозь которую течёт сплошная среда. Использование контрольной поверхности и контрольного объёма приводит к понятию потока гидромеханической характеристики (массы, кинетической энергии), т.е. количества этой характеристики, переносимой сплошной средой в единицу времени сквозь фиксированную поверхность .

Рис.1.9. Поток скорости сквозь контрольную поверхность

Зафиксируем в пространстве, занятом движущейся жидкостью, поверхность и выделим на этой поверхности около точки с координатами элементарную площадку (рис.1.9). Скорость жидкости в этой точке равна - единичный вектор нормали к поверхности в этой же точке. Нормальная к поверхности составляющая скорости будет при этом равной . Объём жидкости, протекающей в единицу времени через площадку , равен .

В элементарном объёме dQ содержится dQ_B гидромеханической характеристики В, которая проносится сплошной средой за единицу времени через площадку :

(1.4.5)

Поток Q_B гидромеханической характеристики В через контрольную поверхность (количество характеристики, проносимое жидкостью за единицу времени через поверхность ) составляет

. (1.4.6)

Поток гидромеханической характеристики В через контрольную поверхность единичной площади (подынтегральное выражение называется плотнотью потока гидромеханической характеристики.

Поток скорости сквозь замкнутую поверхность , отнесённый к единице объёма , заключённого внутри , называется расхождением или дивергенцией скорости, т.е.

.

В декартовой системе координат дивергенция скорости вычисляется по формуле:

.

Отсюда видно, что дивергенция скорости определяет скорость объёмного расширения жидкости в бесконечно малой окрестности данной точки. Поэтому поток скорости через замкнутую поверхность должен быть равен расширению всего объёмажидкости внутри ,то есть

(1.4.7)

или

. (1.4.8)

Это равенство называется теоремой Остроградского - Гаусса. Приведем также формулу для дифференцирования по времени функции, заданной в виде интеграла по подвижному объему W(t) (необязательно Лагранжевому), который ограничен замкнутой поверхностью S(t).

, (1.4.9)

Здесь - скорость движения поверхности S(t).

Если W(t)=W(t) – Лагранжев объем, то и (1.4.9) формула перехода от Лагранжева объема к Эйлерову:

, (1.4.10)

Пусть , тогда согласно (1.4.6) поток массы. А так как в Лагранжевом объеме масса остается постоянной (он содержит одни и те же частицы сплошной среды), то

. (1.4.11)

И из (1.4.10) следует, что для Эйлерова объема выполняется:

. (1.4.12)

Привлекая теорему Остроградского - Гаусса, получим:

,

а учитывая, что размер W произвольный, получим уравнение неразрывности сплошной среды:

. (1.4.13)

Для несжимаемой среды оно переходит в уравнение несжимаемости:

. (1.4.14)

Если в поле мысленно проведён какой-либо замкнутый контур L, ограничивающий некоторую поверхность ,то интеграл по замкнутому контуру:

, (1.4.15)

называется циркуляцией скорости,а вектор, определяемый в виде

, (1.4.16)

называется вихрем или ротором скорости.

Если ввести - оператор Гамильтона (градиента)[7], который в декартовой системе координат имеет вид:

То вихрь скорости определяется по формуле:

. (1.4.17)

Имеет место теорема Стокса:

.

В данном случае - единичные векторы, направленные соответственно по касательной к L и по нормали к поверхности .

Проводя аналогию с механикой твердого недеформируемого тела можно отметить, что при движении элементарного объема сплошной среды можно выделить два вида движения, которые уже изучались в курсе теоретической механики - поступательное движение твердого тела со скоростью полюса и вращение его вокруг полюса. Для сплошной среды дополнительным видом движения является также и деформационное. Поэтому иногда подразделяют движение элементарного объема жидкости на квазитвёрдое(поступательное и вращательное) и деформационное.

В каждый момент времени существуют угловые скорости w_x, w_y, w_z, которые можно рассматривать как проекции на соответствующие координатные оси вектора , определяющего угловую скорость вращения элементарного объема жидкости при его перемещении в трехмерном пространстве:

.(1.4.18)

В векторном анализе вместо w рассматривают вектор 2w, который обозначают гot u и называют вихрем вектора (вихрем скорости):

.(1.4.18)

Если , то течение называется безвихревым или потенциальным, для таких течений поле скорости определяется посредством одной скалярной функции называемой потенциалом скорости. В этом случае:

. (1.4.19)