Обоснование количества опытов

 

При разработке методики эксперимента важно правильно обосновать количество опытов, которое гарантирует требуемую точность результата, а с другой стороны – не ведет к неоправданному перерасходу средств и времени на избыточные испытания.

При количестве испытаний более десяти методика обоснования количества опытов базируется на неравенстве Чебышева:

где n – количество проведенных опытов; – среднее значение случайно измеряемой в ходе эксперимента величины x; M(x) – математическое ожидание величины x ( ); D(x) – дисперсия величины x, рассчитанная по результатам n опытов; ε – точность результата.

Неравенство Чебышева имеет следующую формулировку «Вероятность того, что разница между среднестатистическим и математическим ожиданием M(x) не превысит точность результата ε, равна разности между единицей и отношением ».

Математическое ожидание – это число, относительно которого при неограниченном увеличении числа опытов устойчиво стабилизируется среднее арифметическое значение ( ).

В неравенстве Чебышева имеется три неизвестных: n и статистические характеристики и , зависящие от n. Поэтому процесс расчета n является итеративным: вначале задается некоторое априорное значение n, проводится n-ное количество опытов, вычисляется и проверяется неравенство. Если оно выполняется, то количество опытов достаточно. В противном случае количество опытов увеличивается.

Пример. Экспериментально получены данные испытаний на прочность, представленные в таблице 2. По результатам испытаний (10 опытов) определить их требуемое число, которое обеспечит с доверительной вероятностью точность результата .

Таблица 2 - Опытные данные

№
σсм	14,56	14,88	15,02	14,81	14,73	14,29	14,99	14,60	14,54	14,33

 

Статистические характеристики рассчитываются по формулам

;

.

Из неравенства Чебышева найдем искомую величину

Требуемое количество испытаний превышает 32 опыта. Проведя дополнительные 23 опыта, нужно снова рассчитать x и и проверить требуемый показатель n. Если неравенство Чебышева будет соблюдено, то испытания можно прекратить. В противном случае проводятся дополнительные испытания, пока неравенство не будет выполнено.

Неравенство Чебышева так же позволяет решать обратные задачи, то есть при фиксированном числе испытаний определять точность результата.