Интервал
Событие определяется местом(координаты и время)
Если ввести воображаемое четырехмерное пространство(четырех-пространство) с осями ct,x,y,z, то событие характеризуется - мировой точкой
А линия, описывающая положение точки – мировая линия.
x02 – x12 – x22 – x32 = 0 - четырехмерие.
световой конус будущего
область абсолютно удаленных от А событий
(за пределами конуса
световой конус прошлого
На рис можно отметить конус будущего(вверху) и конус прошлого
Линия, которую описывает частица, называется мировой.
А-событие присшедше раньше В. Событие А является причиной состояния В, а состояние В является следствием состояния А. между этими событиями ---- причинно-следственная связь.
Событие – следствие – это путь в будущее
Событие –причина – это путь в прошлое
Пространство-время – это пространство Минковского.
Верхний конус называется конусом будущего, нижний – прошлого.
Пусть событие – Если свет в момент t1 из точки с координатами (x1, y1, z1 ), а в момент t2 частица имеет координаты (x2, y2, z2 ), то в системе между координатами и временем имеем соотношение
c2(t2 - t1)2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2
расстояние(интервал) между точками
l2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 .
по аналогии можно говорить об интервале в 4-пространстве
(s12)2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 - 4–интервал - четырех-интервал
Квадрат интервала
ds2 = c2d t2 – dx2 – dy2 – dz2 = c2d t2 - dl2
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 – inv (инвариант).
Интервал в любой СО является инвариантом.
Для событий испускания света из точки 1 и прихода в т2 интервал равен нулю
ds2 = c2d t2 – dx2 – dy2 – dz2 = c2d t2 - dl2 =0
Вследствии с=const любой системе отсчета интервал справедлив для обеих К и К' систем отсчета. Если ds = 0, то и ds' = 0. Поэтому между интервалами в разных системах отсчета имеется связь
В системах k и k/ интервалы связаны неким линейным соотношением.
ds = ads/;
Или наоборот
ds/ = ads;
Перемножая
dsds/ = a2 ds/ds; откуда
a = +-1;
Поскольку знак интервала во всех системах отсчета должен быть одинаков, то
a = 1.
ds = ds/
- инвариантны, что и требоалось доказать.
Для всех систем отсчета –по аналогии с расстояниями между точками в обычном пространстве. Это логическое следствие из постулатов Эйнштейна.
Используя инвариантность интервала, запишем
ds2 = c2d t2 - dl2 = c2d( t/) 2 – d(l/)2
Пусть ds2 > 0, т.е. интерваль вещественный. Найдем систему К' где dl/ = 0. в этой системе события, разделенные интервалом ds, произойдут в одной точке. Промежуток времени в системе К' dt/ = ds/c.
Вещественные интервалы--временеподобные
ds2 > 0 - временеподобный интервал.
Если ds2 < 0, т.е. интервал мнимый, тогда можно найти систему К' , в которой d t/ = 0, т.е. события происходят одновременно.Расстояние между точками, в которых произошли события в системе К'
dl' = iDs - расстояние между событиями.
Мнимые интервалы называются пространственноподобными.
ds2 < 0 – пространственноподобный интервал. DS2 < 0
События, происходящие с одной частицей, разделены только временноподобным интервалом.
Поскольку
Vчаст < C
и пройденое расстояние Dl < ct, отсюда ds2 > 0.
Пространственноподобными интервалами могут быть разделены причинно не связанные события.
Частица движется равномерно со скоростью v относительно системы К(лабораторная система). Пусть с этой частицей происходят 2 события разделенные временем в системе К dt. Введем систему К' , относительно которой частица покоится. В этой системе промежуток времени между рассматриваемыми событиями будет
dt' =ds/c.
Где dt' – измерен по часам в системе К', движущейся со скоростью v относительно К вместе с частицей. Время по часам, движущимся вместе с телом – это собственное время –τ. Для этого времени можно записать
dt = ds / c
Поскольку ds – инвариант, а с=const, то dt - инвариант.
Подставляя в выражение для собственного времени ds, выраженный через координаты и время системы К
dt2 = c2d t2 - dl2/ c2 = (c2 - dl2/ d t2) d t / c2
Поскольку производная пути по времени представляет собой скорость
(dl /dt ) gV
Получим для квадрата времени
dt2 = (1- V2/c2)dt2
dt = dt √(1- V2/c2)
Собственное время частицы всегда меньше промежутка времени в неподвижной(лабораторной) системе.(часы идут медленнее в движущейся системе)
Для неравномерного движения промежутки времени получаются интегрированием.
Связь времен в системах отсчета может быть оценена путем мысленного эксперимента. Представим, что в одной из движущихся систем отсчета послан сигнал. Относительно этой системы сигнал движется как в неподвижной. В это же время наблюдатель, находящийся в исходной системе отсчета будет наблюдать этот сигнал, движущимся со скоростью света и достигающим цели за время Т. По теореме Пифагора при условии одновременности фиксации сигнала в точке назначения имеем соотношение между временами.
c2T2 = V2 T2 + t2 c2
Откуда для собственного времени имеем связь аналогичную рассмотренной выше. В движущейся системе время течет медленнее.
t2 = c2T2 - V2 T2/ c2 = T2( 1 - V2/c2)
V = const
Если же скорость изменяется (V = var ):
t = t1∫t2 ( 1 - V2/c2)1/2 dt