Вязкость. Течение Пуазейля
До сих пор мы ничего не говорили о касательных напряжениях в жидкости или газе, ограничиваясь только изотропным давлением в рамках закона Паскаля. Оказывается, однако, что закон Паскаля является исчерпывающим лишь в гидростатике, а в случае неоднородных в пространстве течений вступает в игру диссипативный эффект — язкость, вследствие которого как раз и возникают касательные напряжения.
Пусть в некоторой области потока жидкости два бесконечно близких ее слоя, движущихся в направлении оси ж, соприкасаются друг с другом на горизонтальной поверхности с площадью S (рис. 8.14). Опыт показывает, что возникающая на этой площадке сила трения F между слоями тем больше, чем больше площадь S и чем быстрее изменяется в этом месте скорость потока v в направлении, перпендикулярном к площадке S, то есть, в направлении оси у. Быстрота изменения скорости v как функции у характеризуется производной dv/dy.
Окончательно, полученный из опыта результат можно записать в виде:
F = ηS dv/dy. (8.27)
Здесь F — сила, действующая со стороны вышележащего слоя на нижележащий, η — коэффициент пропорциональности, получивший название коэффициента
Рис. 8.14
вязкости жидкости (сокращенно его называют просто вязкостью жидкости). Размерность его вытекает из формулы (8.27) [η] = [m]/[l][t]; единицу измерения принято выражать как 1 Па • с. Направление силы F (вправо или влево на рис. 8.14) зависит от того, быстрее или медленнее движется вышележащий слой относительно нижележащего. Из (8.27) следует выражение для касательных напряжений:
τ = η dv/dy. (8.28)
Коэффициент вязкости η имеет разные значения для различных жидкостей, и для определенной жидкости зависит от внешних условий, в первую очередь, от температуры. По своей природе силы трения в жидкости являются силами межмолекулярного взаимодействия, то есть электромагнитными силами, как и силы трения между твердыми телами. Перейдем к рассмотрению задачи о вычислении расхода несжимаемой жидкости, текущей в горизонтальной круглой прямолинейной трубе с постоянной площадью поперечного сечения при заданном перепаде давлений. Расходом называется масса жидкости, протекающая в единицу времени через сечение трубы. Эта задача имеет чрезвычайно большое
Рис. 8.15
практическое значение: организация работы нефтепроводов и даже обычного водопровода безусловно требует ее решения. Будем полагать, что нам заданы длина трубы l, ее радиус R, давления на концах трубы P1 и P2 (P1> P2), а также плотность жидкости ρ и ее вязкость η (рис. 8.15).
Наличие сил трения приводит к тому, что на разных расстояниях от центра трубы жидкость течет с разной скоростью. В частности, непосредственно у стенки жидкость должна быть неподвижна, иначе из (8.28) следовали бы бесконечные касательные напряжения. Для вычисления массы жидкости, протекающей ежесекундно через все поперечное сечение трубы мы зобъем это поперечное сечение на бесконечно малые кольцевые площадки с внутренним радиусом г и внешним r + dr и вычислим сначала расход жидкости через каждое из этих бесконечно малых сечений, в которых скорость
жидкости можно считать одинаковой. Просуммировав потом по всем бесконечно малым сечениям, мы определим полный расход жидкости.
Масса жидкости dm, протекающая ежесекундно через бесконечно малое
поперечное сечение 2nrdr со скоростью v(r), равна
dm/dt = 2πr drρv(r). (8.29)
Полный расход жидкости Q мы получим, проинтегрировав выражение (8.29)
по r от 0 до R:
Q = dm/dt = 2πρ 
rv(r) dr, (8.30)
где вынесли за знак интегрирования постоянную величину 2πρ. Чтобы вычислить интеграл в (8.30), необходимо знать зависимость скорости жидкости от радиуса, то есть конкретный вид функции v(r). Для определения v(r) мы воспользуемся уже известными нам законами механики. Рассмотрим в некоторый момент времени цилиндрический объем жидкости некоторого произвольного радиуса r и длины l (рис. 8.15). Заполняющую этот объем жидкость можно рассматривать как совокупность бесконечно малых жидких частиц, образующих систему взаимодействующих материальных точек. При тационарном течении жидкости в трубе все эти материальные точки движутся с независящими от времени скоростями. Следовательно, центр масс всей этой системы также движется с постоянной скоростью. Уравнение для движения центра масс системы материальных точек имеет вид (см. гл. 6)
(8.31)
где М — полная масса системы, Vцм — скорость центра масс,
∑FBH - сумма внешних сил, приложенных в выбранный момент времени к рассматриваемой системе. Так как в нашем случае Vцм = const, то из (8.31) получаем
Внешние силы — это силы давления Fдавл действующие на основания выбранного цилиндрического объема, и силы трения Fтр, действующие на боковую поверхность цилиндра со стороны окружающей жидкости — см. (8.27):
Как мы показали, сумма этих сил равна нулю, то есть
Это соотношение после простых преобразований можно записать в виде
Интегрируя обе части написанного выше равенства, получим
Постоянная интегрирования определится из условия, что при r = R ско-
скорость v должна обращаться в нуль. Это дает
(8.32)
Как мы видим, скорость жидкости максимальна на оси трубы и при удалении от оси меняется по параболическому закону (см. рис. 8.15).
Подставив (8.32) в (8.30), находим искомый расход жидкости
(8.33)
Это выражение для расхода жидкости называется формулой Пуазейля. Отличительной чертой соотношения (8.33) является сильная зависимость расхода от радиуса трубы: расход пропорционален четвертой степени радиуса.
(Сам Пуазейль формулу для расхода не выводил, а исследовал проблему только экспериментально, изучая движение жидкости в капиллярах). На формуле Пуазейля основан один из экспериментальных методов определения коэффициентов вязкости жидкостей.
Жидкости и газы характеризуются плотностью.
-плотность жидкости зависит в общем случае от координат и времени
- плотность – термодинамическая функция и зависит от давления и температуры
Элемент массы можно выразить из определения плотности
dm = rdV
Через выделенную площадку можно определить вектор потока жидкости, как количество жидкости, проходящей через перпендикулярно площадке в единицу времени
- вектор площади.
В неком элементарном объёме имеются микрочастицы, а он сам – макрочастица. 
Линии, которыми условно можно показать движение жидкости, называются линиями тока.
Y - функция тока.
Ламинарное течение – течение, в котором не происходит перемешивание жидкости и прехлестывания функций тока, то есть слоистое течение.
На рис ламинарное обтекание препятствия – в виде цилиндра
. 
Турбулентное течение – течение, при котором различные слои смешиваются. Типичный пример турбулентного следа при обтекании препятствия.
На рис почти - трубка тока. Для трубки тока линии тока не имеют резких отклонений .
Из определения плотности элементарная масса определяется из выражения
dm = rdV
l
элементарный объем вычисляется как произведение площади поперечного сечения на путь, пройденный жидкостью
dV = Sdl
Путь, в свою очередь можно рассчитать зная скорость жидкости и время движения
dl = Vdt
Тогда элементарна масса(масса элемента жидкости) находится из соотношения
dm = rdV = rVSdt
1) Уравнение непрерывности
В самом общем случае направление вектора скорости может не совпадать с направление вектора площади поперечного сечения потока
- вектор площади имеет направление
Объем , занимаемый жидкостью в единицу времени, определяется с учетом правил скалярного произведения векторов
V Scosa
Определим вектор плотности тока жидкости
j = rV, j – плотность потока.- количество жидкости, протекающее через единичное сечение в единицу времени
Из закона сохранения массы жидкости
,
так как
mпотока= const
Поскольку изменение массы жидкости в выбранном сечении определяется как произведение изменения объема на плотность жидкости, из закона сохранения массы получим
rVS = const 
rVS = const
Или
rV1S1 = rV2S2
т.е. расход в различных сечениях потока - одинаков
2) Теорема Остроградского – Гаусса
Рассмотрим баланс массы жидкости для замкнутого объема
элементарный поток через площадку равен
dJ = jdS,
где j – плотность потока.