Момент импульса и момент силы

 

Введем два понятия, чрезвычайно важных для описания движения (и как частный случай — равновесия) макроскопического твердого тела. Но вводить их целесособразно на основе закона движения материальной точки:

 

dp/dt = F. (7.1)

 

В векторной форме уравнение (7.1) имеет универсальный вид во всех циальных системах отсчета и не зависит от выбора начала координат. Предположим, что мы выбрали в качестве такового некоторую точку О. Пусть r — радиус-вектор нашей материальной точки в системе координат с началом в О. Проведем некоторую тождественную операцию — умножим все уравнение (7.1) слева векторно на r:

 

[r(dp/dt)] = [rF].

 

Учтем, далее, что для материальной точки dr/dt = v, v || p. Отсюда следует, в частности,

 

[r(dp/dt)] = d/dt [rp] - [(dr/dt)p] = d/dt [rp],

 

так что в целом второй закон Ньютона (7.1) приводится к эквивалентному

виду

 

dL/dt = М, (7.2)

где векторная величина

М= [rF]

 

именуется моментом силы F относительно точки О, a

 

L = [rр],

 

соответственно, моментом импульса материальной точки относительно точки О —

см.рис. 7.1.

 

рис 7.1

 

В плоскости, заданной векторами r и р, модуль вектора L может быть представлен, в соответствии с рис. 7.1, как

 

L = rpsinα = mvh.

 

Пусть, например, материальная точка массы m движется по окружности радиуса R (рис. 7.2).

 

Момент импульса этой материальной точки относительно центра окружности О равен по модулю

 

L = = mvR.

 

Вектор L в этом случае перпендикулярен к плоскости окружности, причем направление движения частицы и вектор L образуют, как принято говорить, правовинтовую систему. При постоянном радиусе траектории момент импульса может изменяться только за счет изменения модуля скорости. При равномерном движении материальной точки по окружности ее момент импульса остается постоянным и по модулю и по направлению.

 

Пока наши новые определения еще не наполнены должным содержанием — мы всего лишь переписали в новой форме второй закон Ньютона. Ситуация меняется, когда от единственной материальной точки мы переходим к системе материальных точек и, в качестве предельного случая — к макроскопическому телу. При движении друг

относительно друга нескольких материальных точек момент импульса каждой материальной точки не будет оставаться постояннным. Но если эти тела образуют замкнутую систему, то оказывается, что будет оставаться неизменным их суммарный момент импульса относительно произвольного центра.

 

 

Для наглядности мы приведем доказательство для системы, состоящей всего из двух материальных точек, связанных центральной силой, т. е. F₁₂ || (r₂ — r₁), и рассмотрим случай, когда помимо сил взаимодействия на материальные точки действуют также внешние силы (рис. 7.3).

Запишем уравнения для моментов импульсов обеих материальных точек относительно некоторого центра О. Согласно (7.2),

имеем

 

Рис. 7.3

 

 

 

где F₁₂, F₂₁ — силы взаимодействия тел друг с другом, F₁, F₂ — некоторые езультирующие внешние силы, действующие со стороны каких-то других тел на тела 1 и 2, соответственно. Сложив левые и правые части этих уравнений, получаем с учетом того, что

 

F₁₂ = - F₂₁

 

 

(7.3)

 

 

где

M_1BH = [r₁F₁] и М_2вн = [r₂F₂]

 

— моменты внешних сил относительно центра О. Векторы (r₁- r₂) и F₁₂ параллельны, поэтому их векторное произведение равно нулю. Следовательно, уравнение (7.3) для суммарного момента импульса L = L₁ +L₂ системы двух материальных точек имеет вид

 

dL/dt = M_1BH + М_2вн = М_BH (7.4)

 

Здесь Мвн естественно трактовать как полный момент внешних сил, приложенных к системе материальных точек. В случае замкнутой системы материальных точек внешний момент равен нулю, так что оказывается, что момент импульса замкнутой системы материальных точек относительно произвольного центра остается постоянным. Таким образом, мы сформулировали закон сохранения момента импульса.

В силу принятого предположения о центральном характере сил взаимодействия между материальными точками этот закон все еще остается следствием второго закона Ньютона (7.1) и подобием закона сохранения импульса. Сделаем следующий шаг: откажемся от каких-либо предположений о характере взаимодействия внутри замкнутой системы. Тем самым теряет доказательную силу и наш вывод, но сам закон сохранения момента импульса остается уже как экспериментальный и дополнительный к законам

движения материальной точки, сформулированным в гл. 3. (В аналитической механике, изучающей самые общие законы движения, закон сохранения энергии связан с однородностью времени, т. е. с инвариантностью физических законов относительно изменения начала отсчета времени, закон сохранения импульса замкнутой системы связывается с однородностью пространства, т. е. инвариантностью относительно пространственных сдвигов, тогда как закон сохранения момента импульса — с изотропностью пространства (инвариантностью относительного вращений пространства).)

Равным образом и уравнение (7.4) в общем случае не есть следствие (7.1), но представляет собой дополнительное уравнение движения. Соответствующий закон гласит, что скорость

изменения со временем полного момента импульса замкнутой системы определяется только моментами внешних сил, а именно:

 

(7.5)

Рис. 7.4

 

Уравнение (7.5) принято называть уравнением моментов. Операции суммирования в левой и правой части (7.5) не эквивалентны: моменты импульса суммируются по всем частицам (или материальным точкам, или физически бесконечно малым объемам), а в правой части суммирование происходит по всем моментам внешних сил.

Подчеркнем еще раз, что момент силы в данном параграфе понимается именно по отношению к некоторой точке О, из которой проводится радиус-вектор r в точку приложения силы. В действительности, как легко усмотреть из рис. 7.4 а, с точки зрения уравнения моментов (7.5), имеет значение не точка, а линия приложения силы: перенося последнюю вдоль линии А А', мы сохраняем плечо h = r sin а, а следовательно, не меняется и момент силы. Отметим также, что сумма моментов сил, приложенных к телу, именно вследствие этого свойства не равна моменту суммы сил. Наиболее выразительный пример — т. н. пара сил — представлен на рис. 7.4 б. Здесь сумма сил, приложенных к телу, равна нулю (тем самым равно нулю и ускорение центра масс), но полный момент М = h*F ≠ 0. И кстати, полезно в качестве упражнения убедиться, что ни величина, ни направление момента пары сил не зависят от выбора точки О.