Лекция 4

Идеальные жесткие связи. При соприкосновении тел возникают силы взаимодействия, которые можно описать, пользуясь кинематическим понятием абсолютно жестких идеальных связей. Такие связи вынуждают точки механической системы двигаться по определенным поверхностям. Если, например, две материальные точки скреплены жесткой нерастяжимой связью, вынуждающей их находиться на неизменном взаимном расстоянии, то любая из них движется по сфере, в центре которой находится другая точка.

Ограничения, налагаемые, связями, в общем случае вынуждают тела двигаться криволинейно. Такое движение всегда ускоренное. Ускорение можно формально приписать силам, которые называются реакциями жестких связей. Эти силы заранее не заданы как функции положения точек. Интегрируя уравнения типа(1.1) при дополнительных ограничениях, налагаемых связями определяют силы реакции. В следующем параграфе будет рассмотрен способ, позволяющий обойтись вообще без определения сил реакций при решении уравнений движения.

Движение по твердой поверхности приводит не только к возникновению сил реакции, но и сил трения. Их значение в прикладной механике исключительно велико. Но при трении движение сообщается не только самому телу как целому, а и составляющим его молекулам. Взаимодействие между трущимися поверхностями очень сложное и только в результате усреднения по отдельным молекулам получает вид некоторой силы взаимодействия.

В этом разделе мы будем рассматривать элементарные законы, относящиеся к отдельным материальным точкам (частицам), а не к большим совокупностям молекул. Поэтому силы трения будут вообще оставлены в стороне. Они изучаются подробно в курсах технической механики.

Степени свободы механической системы. Чтобы осуществить желаемый переход от прямоугольных координат к другим, более удобным для решения некоторых механических задач, сформулируем сначала необходимые общие определения.

Степенью свободы механической системы называется всякий независимый параметр из числа тех, которые задают положение системы в пространстве. Число таких независимых параметров называется числом степеней свободы системы.

Положение одной материальной точки в пространстве задается с помощью трех независимых параметров (ее координат), измеренных относительно некоторой системы отсчета. Положение N материальных точек, не скрепленных жесткими связями, определяется ЗN независимыми параметрами.

Но если расположение точек как-либо фиксировано, то число степеней свободы может быть и меньшим, чем 3N. Например, если две точки соединены жесткой неизменяемой связью, то на шесть декартовых координат этих точек (x₁, у₁, z₁ ,х₂, у₂, z₂) наложено условие:

(x₁ - х₂)² +( у₁ - у₂)²+( z₁ - z₂)² =R₁₂²

где R₁₂ - заданное расстояние между точками. Следовательно, все декартовы координаты уже не являются независимыми параметрами; независимы только пять из этих шести величин. Иначе говоря, система из двух материальных точек, находящихся на неизменном расстоянии друг от друга, имеет пять степеней свободы.

Если рассмотреть три материальные точки, жестко скрепленные треугольником, то координаты третьей точки должны удовлетворять двум равенствам, аналогичным только что приведенному, где в правых частях стоят R₁₃² и R₂₃².Таким образом, девять координат вершин жесткого треугольника подчинены трем равенствам, и только шесть параметров оказываются независимыми. Треугольник имеет шесть степеней свободы.

Положение твердого тела в пространстве полностью определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Такие три точки, как только что было показано, задаются шестью параметрами. Следовательно, произвольное твердое тело имеет шесть степеней свободы. При этом рассматриваются только такие движения твердого тела, при которых оно не деформируется, например вращение волчка.

Обобщенные координаты. Как было видно из примера точек, скрепленных связями, не всегда удобно задавать положение системы в декартовых координатах. При этом требуется выписывать дополнительные условия, обусловленные связями. Выбор параметров, необходимых для фиксирования положения всех точек механической системы, должен определяться прежде всего целесообразностью. Так, если силы зависят только от расстояния между частицами, то разумно ввести эти расстояния в уравнения динамики в явном виде, а не через посредство декартовых координат.

Механическую систему можно описать с помощью таких параметров, число которых равно числу степеней свободы. Эти параметры могут иногда совпадать с декартовыми координатами тех или иных точек. Например, в системе из двух точек, скрепленных жесткой связью, параметры можно выбрать так: задать положение одной из точек в декартовых координатах, после чего другая точка непременно будет находиться на шаре, имеющем центром первую точку. Положение второй точки на шаре будет известно, если дана ее долгота и широта. Вместе с тремя декартовыми координатами первой точки долгота и широта второй точки полностью определяют положение данной системы в пространстве.

Для трех жестко скрепленных точек надо задать только что описанным способом положение одной стороны треугольника и угол поворота третьей вершины вокруг этой стороны.

Независимые параметры, определяющие положение механической системы в пространстве, называются ее обобщенными координатами. Мы будем обозначать их символами q_a, где нижний индекс а принимает столько значений, сколько степеней свободы у данной системы.

- жесткая связь, система жесткой связи

Длина отрезка из двух точек, связанных жесткой связью:

l²= ( x_A – x_B )² + ( y_A – y_B )²+ ( z_A – z_B )²

Количество координат, необходимых для описания положения системы в пространстве, называется степенью свободы.

f ( …x_i…) = 0 - условие связи.

- функционал.

t₁t₂

2.Уравнения Лагранжа

Уравнение

(1.1)

было записано в декартовой системе координат. Но любая система координат есть результат свободного выбора. Описывая в ней некоторый закон природы, мы тем самым вносим в наше описание определенный элемент произвола. Кроме выбора координатной системы, имеется еще свобода в отношении системы отсчета. Скорости материальных частиц относительно разных систем отсчета различны. Между тем желательно так формулировать законы природы, чтобы в них по возможности не входили величины, по определению относящиеся к наблюдателю (например, координаты), иначе говоря, исключить элемент произвола в описании.

Для этого надо перейти от дифференциального закона (1.1) к интегральному. Значение интеграла не зависит от переменных, в которых он вычислен (например, площадь некоторой фигуры одинакова при вычислении в любых координатах: прямоугольных, полярных и т.д.)

Поэтому можно надеяться так сформулировать законы механического движения, чтобы они сводились к высказываниям об интегральных выражениях, описывающих некоторый участок движения.

Это оказывается осуществимым при следующих условиях:

1. Связи идеально жесткие, т. е. сил трения нет.

2. Силы взаимодействия между материальными точками могут быть представлены в виде

, (2.1)

Гдеиндекс i относится к частице, а производная по векторной величине r_i сама представляет собой вектор с составляющими

, , .

Величина U одна и та же для всей механической системы. О ее значении будет сказано ниже.

Принцип Гамильтона. Условие (2.1) не столь ограничительно, как может показаться. Под него подпадают силы тяжести, электростатические силы, упругие силы, т. е. как раз такие, к которым применяется механика Ньютона. В дальнейшем, будем выражать силы в форме (2.1). Для простоты последующих формул будем считать, что имеется только одна жесткая связь. Это ограничение не имеет существенного значения, так как переход к случаю нескольких связей производится непосредственно. Запишем условие связи в виде уравнения:

F(r₁,..., r_i,..) = 0. (2.2)

Рассмотрим теперь некоторое изменение координат материальных точек системы δr_i, которое будем считать бесконечно малым. Это изменение обязано не движению точек, а может рассматриваться как чисто умозрительная операция. Оно, однако, не должно нарушать условия (2.2), т. е. мыслится совместимым с наложенной на систему связью. Например, если точки вынуждены двигаться по поверхности, то изменения δr_i, берутся вдоль поверхности, а в остальном совершенно произвольны. Но если точки в результате смещений остались на поверхности, определяемой уравнением (2.2), то смещения удовлетворяют очевидному условию:

(2.3)

Здесь было использовано то обстоятельство, что величины δr_i,бесконечно малые, так что функция F разлагалась в ряд Тейлора до первых производных включительно.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (1.1) при дополнительном условии (2.2). Это условие означает, что не все переменные r_i независимы. Чтобы сделать число независимых переменных системы равным числу уравнений, умножим каждое уравнение на соответствующую величину δr* и сложим их.

Силу F_i разобьем на два слагаемых:

Первое слагаемое обусловлено взаимодействием между материальными точками, второе описывает силы, возникающие вследствие действия связей.

Теперь надо воспользоваться тем условием, что связи идеальные. Начнем с простейшего случая гладкой неизменяемой поверхности, по которой движется материальная точка. Тогда сила реакции должна быть перпендикулярна поверхности, т. е. скалярное произведение векторов F'_i и δr_i равно, нулю. Ведь это произведение означает не что иное, как работу перемещения точки по поверхности, т. е. работу сил трения, которые мы заранее исключили, считая связь идеальной.

И в случае двух или вообще нескольких точек каждое слагае F'_i δr_i в отдельности может и не обращаться в нуль, потому что точки могут совершать работу друг над другом.

Например, если две точки скреплены жесткой нерастяжимой связью и одна из них как-либо ускорена, она потянет за собой другую, т. е. совершит над ней работу. Следовательно, в системе из нескольких материальпых точек, скрепленных жесткими связями, на силы реакций связей накладывается условие:

∑_i F'_i δr_i =0, (2. 4)

причем перемещения подчинены равенству (2.3).

Но тогда из уравнений (1.1) и (2.4) следует, что должно выполняться такое равенство:

(2.5)

Для всех перемещений точек, совместимых со связями, т. е. удовлетворяющих равенству(2.3). Из этого уравнения можно исключить какое-либо изперемещений δr_i и подставить его в (2.5), после чего все остальные перемещения, очевидно, становятся независимыми.

Более удобно использовать метод неопределенных множителей, так как он позволяетсохранить симметрию формул относительно всех δr_i. Умножим равенство (2.3) на некоторый множитель α и прибавим его к (2.5):

(2.6)

Поскольку α произвольно, мы ввели в уравнение лишний параметр и благодаря этому можем считать все перемещения совершении независящими одно oт другого. Следовательно, возможно положить равными нулю все

δr_к (k ≠ i), кроме одного δr_i. Тогда остается

Вектор δr_i теперь считается совершенно произвольным, благодаряпараметру α на δr_i больше не накладывается никаких связующихусловий. Но тогда возможно положить равными нулю любые, две составляющие вектора r_i, например у_i, и z_iа не равную нулю составляющую δx_i сократить. Для этой составляющей получим:

Тем же способом получим аналогичное уравнение для любой составляющей. В векторной форме уравнение выглядит так:

(2.8)

причем значок i нумерует все материальные точки механической системы. Вместе с уравнением (2.2) уравнения (2.8) позволяют определить все r_i (как функции времени) и параметр α. Заметим, что произведения суть не что иное, как силы реакций связей, согласно (2.3).

Перейдем теперь к формулировке интегрального принципа. С этой целью преобразуем по частям первое слагаемое равенства(2.5):

(ограничимся пока одним членом). Заметим, что δr_i означает разность двух радиус-векторов, взятых в один и тот же момент времени. Производная от разности равна разности производных, так что

Пользуясь тем, что знак δ относится к бесконечно малой разности, перепишем получившееся равенство так:

Будем суммировать получившееся выражение по материальным точкам, т. е. по i. Сумма

благодаря малости δr_i , которая здесь может рассматриваться как дифференциал координаты.

Собирая отдельные члены равенства (2.5), преобразованные описанным способом, и вынося символ δ за знак суммы, получим:

(2.9)

Допустим теперь, что система перемещается, следуя законам механики, из некоторого заданного начального положения, которое она занимала в момент времени t = t₀, в другое, тоже заданное положение в момент t₁. Для этих положений, так как они заданы, надо положить все δr_i равными нулю:

(δr_i)_t=t0 =(δr_i)_t=t1 =0.

Проинтегрируем выражение, стоящее в левой части (2.9), от момента времени t₀ до момента t₁. Полная производная по времени сведется при этом к разности значений дифференцируемой величины на пределах:

Но на пределах δr_i, как было указано, обращаются в нуль. Кроме того, символ δ, означающий разность значений функции для одного и того же момента времени, может быть переставлен с интегралом по времени по той же причине, по которой δ переставляется с производной по времени. Обозначая теперь сам интеграл буквой S, приходим к следующему равенству:

Интеграл в выражении для S берется вдоль истинной траектории движения, так как при выводе равенства (2.12) были использованы уравнения (1.1). Символ δ впереди интеграла означает, что наряду с этим интегралом рассматривался другой, взятый по бесконечно близкой траектории, отстоящей от истинной на δr_i для i -той частицы. Такая близкая траектория называется варьированной, а символ δ - вариацией данной величины.

Вариация имеет совсем иной смысл, чем дифференциал. Последний относится к изменению величины вдоль траектории движения системы, тогда как вариация отвечает переходу с траектории на другую, близкую к ней и допустимую наложенными на систему условиями связи. Дифференциал определяется из уравнений движения, а вариация подчинена только связям и в остальном произвольна.

Равенство (2.12) показывает, что интеграл S, взятый вдоль истинной траектории системы, имеет экстремум, так как он не изменяется при переходе к любой близкой траектории. Подобно этому, функция вблизи экстремума не меняет значения при изменении аргумента.

Вместо уравнения (1.1) можно исходить из равенства (2.12) как основного положения механики. Такой подход может показаться искусственным. На самом деле, как мы вскоре увидим, в этом лежит путь к очень широким обобщениям. Кроме того, уравнения движения, которые выводятся из условия (2.12) как исходного принципа механики, могут оказаться гораздо удобнее в приложениях, чем исходная система уравнений (1.1). Величина S называется действием механической системы, а утверждение об экстремальности S вдоль истинной траектории — принципом Гамильтона. В некоторых случаях этот принцип допускает более простую формулировку и тогда называется принципом наименьшего действия.