Упругие и неупругие соударения
Обратимся к изучению круга явлений, которые, в зависимости от области физики, именуются столкновениями, соударениями, рассеянием. Преимущественно процессы такого рода важны в физике микромира (едва ли не главная задача в физике элементарных частиц — задача о рассеянии).
Столкновения составляют один из важнейших предметов рассмотрения в физической кинетике, т. е. в молекулярной физике, физике плазмы, растворов и т. д. Но и в небесной механике, коль скоро речь идет не о регулярных планетных или звездных системах, но об астероидах, кометах, фрагментах, образовавшихся как следствие взрывных процессов, данная проблема занимает достойное место.
Главная особенность взаимодействий, которые могут быть квалифицированы как столкновения, состоит в следующем. Участвующие в них частицы (тела) как бы «приходят из бесконечности» и в конечном состоянии «уходят на бесконечность», где взаимодействием можно пренебречь. Сразу ясно, например, что взаимодействие Земли и Солнца не может быть отнесено к этой категории. А вот соударение биллиардных шаров — в принципе, может, хотя о бесконечностях в пределах биллиардного стола говорить и не принято. Но при достаточной и вполне разумной степени идеализации задачи
(пренебрежение трением о сукно, тем более — обменом импульса через возмущение
воздуха или гравитационным взаимодействием шаров) можно утверждать, что шары взаимодействуют в процессе удара, но не взаимодействуют до или после него. Значительно сложнее представить таким образом столкновение заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, поскольку сила и потенциальная энергия их взаимодействия не обращаются в нуль ни на каком конечном расстоянии. Отсюда и возникает бесконечность в корректном определении процесса столкновения, а в реальной ситуации мы всегда имеем дело с некоторым приближением к таковому.
Мы в рамках курса механики ограничимся достаточно простыми примерами, по преимуществу такими, когда при соударении тела приходят в непосредственный контакт друг с другом. Термин «соударение» как раз и относят обычно к классической механике макроскопических тел. В этом случае определение траекторий тел после соударения путем решения уравнений движения оказывается часто очень сложной, а иногда вообще
невыполнимой задачей. Вот тут-то особенно полезными оказываются законы сохранения энергии и импульса, прменение которых к задачам о соударениях мы сейчас рассмотрим.
При соударении макроскопические тела деформируются. При этом некоторая часть кинетической энергии, которой обладали тела перед ударом, переходит в потенциальную энергию упругой деформации, а некоторая часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию образующих тела атомов и молекул. В зависимости от того, насколько меняется внутренняя энергия тел, при решении задач используют нередко одно из двух приближений: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.
Абсолютно упругим ударом называют такое соударение тел, при котором переходом части их энергии во внутреннюю энергию тел можно пренебречь.
Можно считать, что при таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела восстанавливают свою форму, отталкивая друг друга. В результате потенциальная энергия упругой деформации переходит обратно в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяется двумя условиями — законом сохранения полной энергии и законом сохранения полного импульса сталкивающихся тел. При абсолютно неупругом ударе тела «слипаются», т. е. после удара они движутся с одинаковой скоростью либо покоятся. Кинетическая энергия тел полностью или частично превращается в их внутреннюю энергию. Кинетическая энергия тел до и после соударения имеет различное значение, и выполняется лишь закон сохранения импульса.
Пример абсолютно неупругого удара показан на рис. 6.12.
Рассмотрим также пример абсолютно упругого удара, причем ограничимся случаем центрального удара двух однородных шаров, один из которых первоначально покоится. (Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры.) Пусть вращение шаров отсутствует. Пусть справедливо приближение, в котором два тела образуют как бы замкнутую систему, или, что то же, внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга (как, например, при скольжении
Рис. 6.12. Абсолютно неупругий удар
шаров без трения по горизонтальной поверхности). Обозначим массы шаров m1 и m2
Пусть второй шар до удара неподвижен, а первый до удара двигался в положительном направлении оси х со скоростью vо (рис. 6.13).
Эти неизвестные пока величины являются проекциями на ось х
Рис. 6.13. Упругий удар
соответствующих векторов vi и V2, и, следовательно, их знак, полученный в результате решения, определит, в каком направлении оси х шары будут двигаться после удара.
Запишем условия сохранения энергии и импульса:
(6.40)
(6.41)
Решение системы уравнений (6.40), (6.41) — задача элементарная. Искомые
значения для v1 ж v2
(6.42)
Отметим некоторые особенности движения шаров при их упругом центральном ударе, вытекающие из полученного решения (6.42). Если массы шаров равны, то из (6.42) следует, что v1 = 0, v2 = v10. Это означает, что в таком случае первый шар после удара останавливается, а второй движется с той скоростью, которая была у первого шара до удара. Именно по этой причине наилучшей защитой от быстрых нейтронов оказываются вещества, содержащие как можно больше водорода. При столкновении нейтрона с ядром
атома водорода — протоном — последний перехватывает практически всю кинетическую энергию (поскольку Мр = Мn), а нейтрон останавливается.
Рассмотрим случай упругого столкновения тела со стенкой, т. е. с телом, массу которого можно считать бесконечно большой. Для этого случая из (6.42) получаем
v1 = - v10, v2 = 0,
т. е. в результате упругого столкновения со стенкой первый шар меняет свою скорость на противоположную, отскакивая от стенки с той же по модулю скоростью, с которой он к стенке подлетал. Если же столкновение происходит с движущейся стенкой (которая в принципе моделирует любое массивное тело), то весь этот сценарий просто переносится в систему отсчета движущейся стенки. Возвращаясь в лабораторную систему, получаем
v2 = v20 = const; v1 = - v10 + 2v20 (6.43)
в предположении, что v10, v20 считаются однонаправленными (направления «вперед-назад» учитываются посредством знака +-. Подчеркнем, что соударение, упругое в системе отсчета стенки, безусловно остается таковым и в л-системе: при корректном подсчете кинетической энергии уже нельзя пренебрегать поправками к v1, v2 порядка m1/m2 в формуле (6.43).
Пусть теперь рассматривается упругое столкновение двух частиц, которое уже не может быть описано в рамках одномерной модели. Припишем индекс i начальным значениям всех физических величин, а индекс f —конечным. Закон сохранения импульса в произвольной системе отсчета будет существенно трехмерным:
(6.44)
где р — сохраняющийся суммарный импульс системы сталкивающихся частиц. В
ц-системе р = 0, и размерность уравнения (6.44) понижается. Действительно, векторы
р1i= -p2i
определяют некоторую прямую, векторы
р1f = -p2f
— еще одну прямую, а две пересекающиеся прямые задают некоторую плоскость (исключая тот вырожденный случай, когда р1i || p1f,
так что задача оказывается одномерной). Следовательно, в ц-системе процесс рассеяния всегда происходит в некоторой плоскости, поэтому в общем случае вместо двух переменных v1, v2 в уравнениях (6.40), (6.41), мы будем иметь дело с четырьмя. Процесс рассеяния, ввиду его фактической двумерности, удобно представить графически, как это показано на рис. 6.14.
В ц-системе
|р1i |= |p2i | = pс
тогда кинетическая энергия в ц-системе
(которая при упругом столкновении сохраняется) равна
Отсюда следует, что и после соударения
|р1f|= |p2f| = pс .
Таким образом, концы векторов р1i, ..., p2f в ц-системе можно представить лежащими на окружности, как это показано на рис. 6.14 а: в результате рассеяния векторы p12 поворачиваются, как показано на рисунке, не изменяя своей длины (модуля). Похожая картинка получилась бы и для скоростей частиц, только концы векторов vx 2C располагались бы на концентрических окружностях с радиусами, соответственно равными pc/m1, pc/m2.
На рис. 6.14 б показано, как можно построить векторы скорости частиц в л-системе, складывая v1,2C с вектором скорости центра масс. Такое построение можно провести и для начальных, и для конечных скоростей.
рис. 6.14
а)концы векторов р1i, ..., p2f в ц-системе можно представить лежащими на окружности
в результате рассеяния векторы p12 поворачиваются, не изменяя своей длины (модуля)
б)можно построить векторы скорости частиц в л-системе, складывая v1,2C с вектором скорости центра масс
Если бы столкновение было неупругим, но мы бы знали, какая именно доля кинетической энергии в ц-системе утрачена, можно было бы провести аналогичное построение, но радиус соответствующих окружностей был бы разным для начального и конечного состояний. Эта проблема — учет неупругости с известными потерями — чрезвычайно важна в контексте молекулярной, атомной и ядерной физики, ибо моделирует реакции — от химических до ядерных.