Центр масс системы материальных точек

 

Если бы мы не вычитали, а складывали уравнения (6.1), у нас получился бы просто закон сохранения импульса

 

 

Его можно переписать чисто формально как закон постоянства во времени

некоторой скорости Vc:

 

 

(6.4)

 

Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью (6.4). Скорости

частиц 1 и 2 при этом преобразуются следующим образом:

 

 

(6.5)

т. е. в новой системе отсчета они выражаются через скорость относительного

движения. Свяжем скорость Vc с радиусом-вектором некоторой точки r_с:

 

Отметим, что определение (6.6) совпадает с известным из школьного курса

физики понятием центра тяжести. Для доказательства перенесем начало

координат в точку r_с. Тогда, совершенно аналогично (6.5), получим

 

 

 

Таким образом,

 

(центр тяжести определяется равенством произведений массы на «плечо»). Но определения (6.4) и (6.6) более корректны и более универсальны, поскольку без каких-либо проблем обобщаются на любое число материальных точек, а следовательно, и на

макроскопические тела. Точку С в механике — и вообще в физике — принято называть

центром масс или центром инерции системы материальных точек.

Пусть в некоторой инерциальной системе координат положения взаимодействующих материальных точек с массами m₁, m₂, ... m_N задаются в каждый момент времени t посредством радиусов-векторов r₁(t), r₂(t), ... r_N(t)

(см. рис. 6.3 а). Тогда центром масс рассматриваемой системы материальных точек называется такая точка, радиус-вектор которой Rc(t) выражается через радиусы-векторы r₁(t), r₂(t), ... r_N(t) материальных точек по

 

 

(6.7)

Подчеркнем, что в общем случае положение центра масс не совпадает с

положением какой-либо из материальных точек системы (см. рис. 6.3 б),

хотя иногда такое может и случиться.

 

Рис. 6.3 центром масс системы материальных точек называется такая точка, радиус-вектор которой Rc(t) выражается через радиусы-векторы r₁(t), r₂(t), ... r_N(t) материальных точек

 

Продифференцируем по времени левую и правую части равенства (6.7).

Производная радиуса-вектора по времени есть по определению скорость, так

что в результате мы получаем

(6.8)

где Vc — скорость центра масс, v₁, v₂,... v_N — скорости материальных точек. Величина m₁v₁ в (6.8) — импульс первой материальной точки, m₂V₂ — импульс второй точки и

т.д. Таким образом, в фигурных скобках выражения (6.8) стоит сумма импульсов рассматриваемой системы материальных точек, т. е. импульс Р всей системы. Следовательно, равенство (6.8) можно переписать в виде

 

Р = {m₁ + m₂ + …. + m_N}V_c. (6.9)

 

В системе отсчета, где центр масс покоится,

Р = 0.

Если нас не интересует относительное движение материальных точек, а интересует движение системы как целого, то тогда всю систему можно рассматривать как одну материальную точку, движущуюся со скоростью Vc и обладающую импульсом Р. Вспомним, что масса материальной точки есть, по определению, коэффициент пропорциональности между импульсом и скоростью. Поэтому стоящий в равенстве (6.9) коэффициент пропорциональности, заключенный в фигурные скобки, есть масса М рассматрваемой системы:

 

М = m₁ + m₂ + …. + m_N, (6.10)

 

т. е. масса системы материальных точек равняется сумме масс этих точек. Соотношение (6.10), согласно которому масса сложного тела равна сумме масс его частей, кажется нам привычным и очевидным. Однако, как мы еще убедимся, в релятивистской механике (т. е. в более общем случае) ситуация будет совершенно иной. В предельном случае ньютоновой механики равенство (6.10) представляет собой частный случай определенного

физического закона — закона сохранения массы.

В отсутствие внешних сил, т. е. для замкнутой системы, сумма импульсов всех тел системы не зависит от времени; тогда из (6.9) следует важное свойство движения центра масс замкнутой системы материальных точек:

V_c = const,

т. е. центр масс замкнутой системы материальных точек неподвижен или

движется равномерно и прямолинейно, хотя каждая из материальных точек может совершать сложное движение. Приведенное выше утверждение называют иногда теоремой о движении центра масс.

Мы сейчас докажем следующее важное свойство кинетической энергии:

кинетическая энергия Т системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии Т' той же системы в ее относительном движении по отношению к системе отсчета, движущейся вместе с центром масс:

 

 

(6.11)

где М = m₁+ m₂ + … + m_N . Vc — скорость центра масс в исходной системе отсчета, v_i — скорость i-ой материальной точки относительно системы отсчета, движущейся вместе с точкой С. Такую систему обычно называют «системой центра масс», «системой центра инерции» или просто «ц-системой». (Систему отсчета, в которой поставлена задача, если эта система не совпадает с ц-системой, принято называть лабораторной системой отсчета или л-системой).

Для доказательства получим вначале более общее соотношение, связывающее кинетическую энергию в двух системах отсчета (см. рис. 6.4). Для координат и скоростей точек в старой системе R_i, V_i и в новой системе r_i, v_i запишем преобразования Галилея:

 

 

где R — радиус-вектор перехода из старой системы в новую, а V —соответственно, скорость движения новой системы относительно старой.

Рис. 6.4 связь координат в двух системах отсчета

 

Тогда кинетическую энергию в старой системе отсчета можно представить в виде

 

(6.12)

 

 

Правую часть (6.12) можно представить в виде трех сумм:

 

(6.13)

 

где Р — полный импульс системы материальных точек в новой системе отсчета. Соотношение (6.13) принято называть теоремой Кенига . Если же новая система совпадает с ц-системой, то суммарный импульс в ней равен нулю, V = Vc, а значит, имеет место соотношение (6.11).

В заключение этого параграфа отметим два важных свойства, вытекающих из определения центра масс. Во-первых, частицы в (6.7) можно объединять в какие угодно группы, например:

 

Отсюда, как легко сообразить, следует, что центр масс любой системы макроскопических тел может быть найден как центр масс системы материальных точек, в предположении, что масса каждого тела сосредоточена в его собственном центре масс.

И во-вторых, от суммирования в (6.7) нетрудно перейти к интегрированию,

если мы вычисляем положение центра масс тела с непрерывным распределением плотности вещества ρ(т):