Движение материальной точки по окружности

 

Рассматриваем вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Для этого построим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось z совпала с осью вращенеия

Угловая скорость по определению

w = df / dt

Угловое ускорение

e = d²f / dt² = dw / dt

Декартовы координаты выражаются через радиус окружности и угол следующим образом

x = Rcosf

y = Rsinf

 

 

используя формулы для скорости и правила дифференцирования сложной функции, находим проекцию вектора скорости на ось абсцисс

V_x = dx /dt = (dx/df)(df/dt)

Учитывая, что

dx / df = - Rsinf

Получаем для скорости

V_x = - Rwsinf

Аналогично для составляющей по оси ординат

V_у = dy /dt = (dy/df)(df/dt) = Rwcosf

v_z =0

Если проделать соответствующие преобразования(скорость равна корню из суммы квадратов составляющих скоростей), то для скорости можно получить

V = R|w|

 

 

Вектор угловой скорости можно представить вектором перпендикулярным плоскости вращения

w = |w|к

 

Из этого определения следует, что когда ось z совпадает с осью вращения тела, координаты вектора угловой скорости wбудут

w_x =0, ω_y =0, ω_z =w

При помощи формул для векторного произведения нетрудно убедиться в том, что векторное произведение вектора угловой скорости на радиус – вектор точки с координатами x, y, z равно вектору скорости

Формула векторного произведения(вектор, равный по величине площади параллелограмма, построенного на векторахa, rи направленного перпендикулярно плоскости составленной из векторовaиr так, что результирущий вектор составляет правую тройку с векторами произведения)

 

[ar] = | i j k |

| a_x a_y a_z |

| x y z |

 

Векторное произведение вектора угловой скорости на радиус – вектор точки

 

[wr] = | i j k |

| 0 0 w |
| x y z |