Обобществление электронов в кристалле

 

В твердом теле расстояния между атомами настолько малы, что каждый из них оказывается в потенциальном поле остальных атомов, которое нельзя игнорировать.

Вначале проведем качественное рассмотрение последствий объединения атомов в кристалл. Для этого сравним состояние изолированного атома, когда расстояние до другого атома r>>а – порядка кристаллической решетки (рис. 4.1, а). Для простоты возьмем атом натрия, имеющий энергетические уровни 1s, 2s, 2p, 3s. Уровни 1s, 2s, 2p заполнены, уровень 3s содержит один электрон, более высокие уровни пусты. Атомы отделены друг от друга потенциальными барьерами, и переход электрона между 3s уровнями отдельных атомов уже на расстоянии более
2 нм практически невозможен.

В верхней части рисунка показана картина распределения плотности вероятности ρ=4πτ²ψψ^* обнаружения электрона на расстоянии r от ядра.

Теперь подвергнем атомы медленному сближению так, чтобы образовался кристалл. По мере сближения атомов взаимодействие между ними растет. На рис. 4.1, б приведены два втома натрия.

а) б)

 

Рис. 4.1. Атомы натрия: а – удаленный атом, τ>>a; б – два атома, τ>>a

Сближение атомов вызывает уменьшение высоты и толщины потенциальных барьеров, разделяющих атомы. Так, для электронов 3s высота уровня оказывается выше потенциального барьера, и уровень оказывается общим для всех атомов. Это подтверждается и перекрытием функции ρ для 3s уровня. Иными словами происходит обобществление валентных 3s электронов.

В кристалле на этом уровне должно разместиться N одинаковых электронов. Однако, согласно принципу Паули, это запрещено, и 3s уровень расщепляется на N подуровней. В итоге формируется энергетическая зона, где могут находиться свободные электроны, называемые электронным газом.

Вследствие уменьшения толщины потенциального барьера при сближении атомов некоторую свободу перемещения по кристаллу получают и более близкие к ядру электроны. Некоторые из них могут туннелировать сквозь барьеры, и вероятность перемещения зависит от толщины барьера. Эта вероятность уменьшается для более глубоких уровней. Так, в рассматриваемом кристалле время нахождения на уровне 3s составляет для электрона 10^-15 с, а время нахождения на самом глубоком уровне 1s – 10⁴ с.

Вернемся к 3s зоне и рассмотрим ее структуру. Мы уже говорили, что зона состоит из N подуровней. Такое состояние называют N – кратно вырожденным, а расщепление уровня на подуровни – снятием вырождения. Так выглядит ситуация, если мы имеем дело с S уровнем (l=0). В общем случае кратность вырождения определяется знакомым нам соотношением n=2l+1 (п. 2.7). Число электронов, которое может размещаться в зоне, определяется выражением (2l+1)n.

Расстояние между подуровнями очень мало. Если ширину зоны Е принять за несколько электрон-вольт, то расстояние между уровнями будет не более 10^-22 эВ. Поэтому обычно не учитывают тонкую структуру зоны, считая зону непрерывной.