Квантовый гармонический осциллятор
Выше (п. 1.3) говорилось о тепловых колебаниях кристаллической решетки. Рассмотрим этот вопрос с привлечением понятий квантовой механики.
Линейным гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую линейные гармонические колебания около положения равновесия. При отклонении частицы от положения равновесия возникает возвращающая сила F, направленная к положению равновесия и пропорциональная x (рис. 2.4, а).
F=-f x1, (2.42)
где f – постоянная возвращающей силы.
a) x E,U
n=2 E2
б) n=1 E1 n=0 E0
x
Рис. 2.4. Гармонический осциллятор: а – возвращающая сила; б – потенциальная энергия
Осциллятор совершает гармонические колебания с частотой ν.
,
где m – масса или характеристика инерции системы,
и обладает потенциальной энергией (рис. 2.4, б)
. (2.43)
Если в качестве осциллятора выступает микрочастица, нужно воспользоваться уравнением Шредингера, которое после подстановки в него (2.43) приобретает следующий вид:
. (2.44)
Решение уравнения (2.44) осуществляют с помощью преобразований Эрмита. Опуская ход решения, запишем выражение для энергии квантового гармонического осциллятора
, (2.45)
где n – квантовое число, n=0, 1, 2, …
Наименьшее значение энергии осциллятора
, (2.45′)
а при возрастании n энергия увеличивается (рис. 2.4, б) с шагом, равным
Е=h ν. (2.46)
Если рассматривать в качестве осциллятора атом, то (2.45) описывает энергетический спектр этих колебаний или фононов (см. п. 1.3).
Наименьшая энергия E0 называется нулевой энергией, является еще одним отличием квантового осциллятора от классического. Смысл наличия нулевой энергии в том, что колебательное движение атома в твердом теле неуничтожимо, E0 имеет квантовомеханическую природу.