Электрон в потенциальной яме

 

Рассмотрим движение микрочастицы энергии E в прямоугольной потенциальной яме (рис. 2.2) глубиной U0 и шириной L.

 

U w

U0 E II

I III

 

 

0 L x 0 L x

a) б)

 

Рис. 2.2. Частица в потенциальной яме: а – энергетическая диаграмма; б – вероятность нахождения частицы

 

Для электрона примером такой ямы является микроэлектрод: вне электрода энергия электрона равняется нулю, а внутри – U0. Эта энергия обеспечивается потенциальным полем решетки U0. Для выхода электрона из металла необходимо совершить работу, равную U0работу выхода.

Запишем стационарное уравнение Шредингера для областей I, II, и III (рис. 2.2, а).

, (2.28)

где ,

.

Запишем общее решение уравнения Шредингера для трех зон.

 

, (2.29)

Упростим задачу, считая, что U0"∞. Тогда в областях I и III волновая функция будет равна нулю.

Согласно условию непрерывности функции можно записать, что

 

ψ(0)= ψ(L)=0. (2.30)

 

Это условие выполнимо, если

 

kL = πn, n = 1, 2, …

 

Отсюда находим возможные значения kn

. (2.31)

Поскольку стенки ямы имеют одинаковую высоту, очевидно, что в (2.29) A=B. Тогда можно записать выражение для волновой функции электрона в яме

или

(2.32)

В потенциальной яме укладывается целое число полуволн (рис. 2.2, б). Определим вероятность нахождения электрона в потенциальной яме ω(x).

где А – коэффициент, определяемый из условия нормировки, .

Тогда можно записать

 

(2.33)

Из данного выражения следует, что в отличие от свободного электрона вероятность нахождения электрона в потенциальной яме непостоянна и изменяется с изменением квантового числа n (рис. 2.2, б).

Вернемся к выражению (2.28) и запишем выражение для энергии электрона в яме.

 

.

 

Полученное выражение не отличается от записанного ранее (2.22) для свободного электрона. Однако, подставив в него k из (2.31), получим новое выражение

 

. (2.34)

 

Полученное выражение содержит квантовое число n, т.е. спектр энергии электрона в потенциальной яме является не сплошным, как для свободного электрона, а дискретным.