Свободный электрон. Фазовая и групповая скорости

 

Если считать частицу свободной и движущейся по оси x, то U(x) = 0, уравнение Шредингера (2.14) примет вид

, (2.18)

где k = 2π/λ – волновой вектор электрона;

 

E = p²/2m = ћ²k² /2m – его энергия.

Решением уравнения (2.18) будет функция

 

ψ = ψ₁ + ψ₂ =Aexp(ikx) + Bexp(-ikx), (2.19)

 

где А и В – постоянные коэффициенты.

С учетом (2.17) общее решение уравнения Шредингера будет иметь вид

Ψ(x,t) = A exp[i(kx-ωt)] + B exp[-i(kx+ωt)]. (2.20)

 

Последнее уравнение выражает суперпозицию двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Для частицы, движущейся по оси x, B=0. Для частицы, движущейся в противоположном направлении, A=0.

Для трехмерного случая решением уравнения Шредингера будет являться выражение

Ψ = , (2.21)

где – радиус-вектор точки фронта волны.

Энергия свободной частицы будет равняться

, (2.22)

для трехмерного случая

, (2.23)

где k_x, k_y, k_z – проекции волнового вектора на оси координат.

Выражения (2.22) и (2.23) показывают, что функция E(k) является непрерывной, т.е. энергетический спектр свободного электрона сплошной(рис. 2.1, а).

Поскольку микрочастица связана с плоской волной, имеет смысл рассмотреть вопрос о ее фазовой и групповой скоростях (п. 1.3).

В уравнении плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, величина φ представляет собой фазу волны.

 

φ=k∙x-ω∙t, (2.24)

 

Напомним, что фазовая скорость υ_ф – это скорость участка волны с постоянной фазой. Дифференцируя (2.24) с учетом постоянства фазы получим

. (2.25)

Подставляя в (2.25) значения ω и k, можно записать

. (2.26)

Анализ последнего выражения показывает, что фазовая скорость волн де Бройля зависит от их длины, т.е. имеет место эффект дисперсии.

Как отмечалось выше, в реальном случае частица представляет собой не монохроматическую волну, а волновой пакет, образованный двумя или более волнами, имеющими близкие значения длин и волновых векторов. Скорость этого пакета, групповая скорость J_гр

. (2.27)

Подставив в последнее выражение значение k = mJ/ћ и производной dω/dk=ħk/m, получим:

J_гр = J.

Последнее выражение показывает, что групповая скорость волн де Бройляравна скорости движения частицы.

В заключение рассмотрим вероятность нахождения свободного электрона в пространстве. Подставим в (2.8) выражение для плоской волны и получим w=const (рис. 2.1, б).

Это означает, что вероятность нахождения свободного электрона не зависит от координаты.

 

E

 

 

0 k 0 х

a) б)

 

Рис. 2.1. Свободный электрон: а – энергетический спектр; б – вероятность нахождения