Гипербола. Вывод её канонического уравнения

Определение:Гиперболой[6] называется множество точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек (фокусов[7]), лежащих в этой же плоскости, есть величина постоянная.

Обозначим эту постоянную как 2а, а расстояние между фокусами F1 и F2 как 2с (фокусное расстояние), причём a c.

Построим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а её положительное направление совпадало с направлением вектора . Начало координатной системы разместим в центре отрезка . Тогда координаты фокусов будут иметь вид (– с;0) и

(с;0).

Пусть М (х;у) – произвольная точка гиперболы, тогда

F1 M – F2 M = 2a (23).

 

F1 M = F2 M =

Тогда уравнение гиперболы принимает вид

2a (24).

Знак « – » в правой части выражения (24) получается в том случае, когда в левой части равенства уменьшаемое оказывается меньше вычитаемого.

После упрощений, подобных тем, что делались в §1, получим

каноническое уравнение гиперболы

(25),

где с2 (26).