Гипербола. Вывод её канонического уравнения
Определение:Гиперболой[6] называется множество точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек (фокусов[7]), лежащих в этой же плоскости, есть величина постоянная.
Обозначим эту постоянную как 2а, а расстояние между фокусами F1 и F2 как 2с (фокусное расстояние), причём a c.
Построим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а её положительное направление совпадало с направлением вектора . Начало координатной системы разместим в центре отрезка . Тогда координаты фокусов будут иметь вид (– с;0) и
(с;0).
Пусть М (х;у) – произвольная точка гиперболы, тогда
F1 M – F2 M = 2a (23).
F1 M = F2 M =
Тогда уравнение гиперболы принимает вид
2a (24).
Знак « – » в правой части выражения (24) получается в том случае, когда в левой части равенства уменьшаемое оказывается меньше вычитаемого.
После упрощений, подобных тем, что делались в §1, получим
каноническое уравнение гиперболы
(25),
где с2– (26).