Аппроксимации биноминального распределения
Связь с бета распределением
Бета распределение — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом
Обозначение
Область значений:
Плотность вероятности:
a,β > 0 произвольные фиксированные параметры, и
- бета функция
Функции биномиального и бета распределений связаны следующим соотношением: b(m | n,p) = B(1-p | n-m, m+1)
Вычисление Pn(k) при больших значениях n затруднительно. Поэтому для их приближённого вычисления можно использовать нормальную и пуассоновскую аппроксимации.
Связь с нормальным распределением
Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы , b(m | n,p) ≈ N(M(x),D(x)), где N – нормальное распределение. Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных. Оно часто используется для приближенного описания многих случайных явлений, когда интересующий нас результат складывается из большого количества независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся.
Связь с пуассоновским распределением
Если n большое, а λ — фиксированное число, то , b(m | n,p) ≈ P(l). где P(λ) — распределение Пуассона с параметром λ. Распределение Пуассона играет важную роль для описания "редких" событий в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – там, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий ( радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.).
На практике пуассоновская аппроксимация хорошо работает, когда вероятность успеха p мала, а l = np принимает значение не более 10. В противном случае лучше работает нормальная аппроксимация.
¾ Кривая плотности нормального распределения
Вероятности биномиального распределения (¾) изображаются прямоугольными столбиками с единичными основаниями и высотами, равными соответствующим вероятностям. Аналогично изображается пуассоновская аппроксимация (¾).