РАСЧЕТА ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ОСВОЕНИЕ МЕТОДОВ ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ И

РАСЧЕТА ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Цель работы: ознакомление с теорией вычисления погрешностей при измерениях физических величин.

Задачи работы: 1) определение массы образца взвешиванием; 2) определение объема образца; 3) вычисление плотности материала образца; 4) вычисление погрешностей.

Обеспечивающие средства: микрометр, штангенциркуль, весы, образец.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Введение

Одной из основных задач физики как науки является адекватное описание физических явлений в природе, т.е. выяснение сути этих явлений и построение определенных моделей для их описания. При этом основой для построения данных моделей и критерием их правильности является физический эксперимент. При этом нужно всегда отдавать себе отчет, что любые измерения можно проводить с какой-то определенной точностью. Точность эта определяется не только теми возможностями, которыми обладает исследователь, но и часто определяется самой природой исследуемого объекта. Ниже изложены правила, которые позволяют оценивать точность проведенных измерений.

Виды измерений

При выполнении любой лабораторной работы физического практикума необходимо провести одно или несколько измерений одной или нескольких физических величин. В дальнейшем полученные экспериментальные данные обрабатываются с целью нахождения искомых величин и их погрешностей.

Измерение - это сравнение измеряемой величины с другой величиной, принимаемой за единицу измерения. Любая физическая величина обладает истинным значением, т.е. таким значением, которое идеальным образом отражает свойства объекта.

Измерения делят на прямые и косвенные. Прямые измерения проводятся с помощью приборов, которые измеряют саму исследуемую величину: линейные размеры тела измеряются линейкой, масса с помощью весов, отградуированных на единицу массы, и т.д. При косвенных измерениях искомая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с ней известной зависимостью: измерение объема тела по измеренным линейным размерам, плотности тела и т.д.

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно, поэтому в задачу измерений входит не только нахождение самой величины, но также и оценка допущенной при измерении погрешности.

Погрешности измерения

Абсолютной погрешностью измерений ( ) называется разность между найденным на опыте и истинным значением физической величины

(1)

В качестве истинного значения измеряемой величины обычно принимают среднее арифметическое из всех полученных результатов, как наиболее близкое к истинному значению:

, (2)

где n – число измерений.

Кроме абсолютной погрешности важно знать относительную погрешность , которая равна отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины

(3)

Качество измерений обычно определяется именно относительной, а не абсолютной погрешностью.

Погрешности измерений вызываются разными причинами, и их принято делить на систематические, случайные и "грубые" (промахи).

"Грубые" погрешности (промахи) возникают вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Если установлено, что произошла "грубая" ошибка (промах) в измерениях, то эти измерения нужно отбрасывать.

Несвязанные с "грубыми" ошибками погрешностями опыта делятся на случайные и систематические.

Вычисление случайных погрешностей прямых измерений

Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто результаты не равны друг другу, а располагаются вокруг некоторого среднего. Погрешности, меняющие значение и знак от опыта к опыту называются случайными. Случайные погрешности могут быть связаны как с несовершенством объекта измерений, так и с особенностями метода измерений и самого экспериментатора.

Случайные погрешности определяются по законам теории ошибок, основанной на теории вероятностей. Рассмотрим только основные свойства и правила их вычисления без использования доказательств.

Случайная погрешность определяется формулой:

. (4)

Результат опыта при учете только случайной погрешности записывается в виде:

(5)

Как видно из формул (2) и (4) величина при увеличении числа опытов n будет мало изменяться, т.к. величины имеют примерно одинаковое значение, и их сумма будет увеличиваться пропорционально числу слагаемых, т.е. n. В то время как будет с ростом n уменьшаться, т.к. (число членов суммы в (4) растет как n, а все подкоренное выражение как 1/(n-1)).

В теории вероятностей показано, что при достаточно больших n величина будет стремиться к , а величина будет называться дисперсией. При этом формула (5) означает, что примерно 2/3 (точнее 68,3%) измерений будут лежать в интервале

Из сказанного выше можно сделать вывод, что, увеличивая число измерений, можно существенно уменьшить случайную погрешность. Но увеличение числа измерений не вносит никаких изменений в систематическую погрешность.

Пример.

Рассмотрим измерение длины деревянного бруска штангенциркулем. Из-за неоднородности спила мы каждый раз получаем различные длины.

№ опыта
, см	10,485	10,420	10,415	10,445	10,445

В рассматриваемом примере

Вычисление систематических погрешностей

Систематическая погрешность, в отличие от случайной, сохраняет свою величину (и знак) во время эксперимента. Систематические погрешности появляются вследствие ограниченной точности приборов, влияния внешних факторов и т.д.

Обычно основной вклад в систематическую погрешность дает погрешность, определяемая точностью приборов, которыми производят измерения. Это означает, что независимо от количества выполненных измерений, точность полученного результата не превысит точности, обеспеченной характеристиками данного прибора. Для обычных измерительных инструментов (линейка, пружинные весы, секундомер) в качестве абсолютной систематической погрешности берется половина цены наименьшего деления шкалы прибора. Так, инструментальная погрешность миллиметровой линейки будет , а погрешность секундомера . В рассматриваемом примере длина бруска измерялась с помощью штангенциркуля с погрешностью , инструментальная погрешность микрометра

Суммарная ошибка прямых измерений

В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные ошибки. Пусть они характеризуются абсолютными погрешностями и . Тогда суммарная погрешность опыта находится по формуле

. (6)

Из формулы (6) видно, что если одна из этих погрешностей мала, то ею можно пренебречь. Например, пусть в 2 раза больше , тогда

т.е. с точностью до 12% .

Таким образом, меньшая погрешность почти ничего не добавляет к большей, даже если она составляет половину от нее. В том случае, если случайная ошибка опытов хотя бы вдвое меньше систематической, нет смысла производить многократные измерения, так как полная погрешность опыта при этом практически не уменьшается. Достаточно произвести 2 - 3 измерения, чтобы убедиться, что случайная ошибка действительно мала.

В рассматриваемом нами примере = 0,122 см, а = 0,005 см. В результате, согласно формуле (6):

как видно, в этом случае можно пренебречь .

Погрешности косвенных измерений

Очень часто величину, необходимую получить в работе, нельзя определить прямыми измерениями. В этом случае искомая величина определяется косвенными измерениями, т.е. вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с ней известной зависимостью. Пусть величина A связана с прямо измеряемыми величинами x, y, z ... соотношением

A = f(x,y,z..),

…,

тогда

(7)

(8)

(9)

В формуле (8) выражение означает частную производную функции по переменной x, т.е. вычисляется производная , когда все остальные переменные y, z,... считаются параметрами (константами). Значения соответствующих частных производных в формуле (8) находятся при подстановке вместо переменных x, y ,z... значений

В таблице 1 представлены выражения для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений.

Таблица 1

Как видно из таблицы 1, в некоторых случаях косвенных измерений удобно пользоваться формулами для абсолютных погрешностей (сумма, разность, тригонометрические функции), а в некоторых - формулами для относительных погрешностей (произведение, частное, выражения, содержащие степень). Если величина A имеет более сложную зависимость, чем представленную в таблице 1, то нужно либо пользоваться общим правилом (8), либо компоновать выражения из таблицы 1.

Запись результатов измерений

При окончательной записи результатов нужно пользоваться следующими правилами:

1. При записи погрешности следует округлять ее до первой значащей цифры или до двух значащих цифр, если это 10, 11, 12, 13, 14.

2. При записи измеренного значения x последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности. При этом нужно пользоваться стандартным правилом округления: если следующая за последней значащей цифрой меньше 5, то значащая цифра остается неизменной; если же первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя значащая цифра увеличивается на единицу. Если погрешность составляет две значащие цифры результата измерений, то в этом значении последнюю цифру следует округлить (в результате, но не в погрешности). Ниже даны примеры окончательной записи результатов измерений: