Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье.

 

Определение 2. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на сегменте [ a, b ], если она непрерывна во всех точках сегмента [ a, b ] за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода.

 

Определение 3. Кусочно-непрерывная на сегменте [ a, b ] функция называется кусочно-гладкой на этом сегменте, если производная этой функции f '(x) существует и непрерывна всюду на сегменте [ a, b ], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых существует правый и левый пределы и .

 

 

Лемма 1. Об аппроксимации непрерывной на сегменте [ a,

b ] функции кусочно-гладкой функцией. Пусть функция f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ]. Тогда для любого e > 0 существует непрерывная, кусочно-гладкая функция l (x), такая, что для любого x из сегмента [ a, b ] выполняется условие |f (x) − l (x)| < e, причём l (a) = f (a), l (b) = f (b).

 

Лемма 2. Если функция f (x) кусочно-непрерывна на сегменте [ a, b ], то

 

 

1) при l → ∞ ,

 

2) при l → ∞ .

 

Теорема 2. О поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Пусть f (x) – кусочно-гладкая функция на сегменте [ − p ; p ]. Тогда ряд

 

 

, где , ,

 

 

,

 

 

сходится в каждой точке x Î [ − p ; p ], и для его суммы S (x) справедливо равенство

 

 

1) ,

 

2) .

 

 

3. Комплексная форма ряда Фурье. Заметим, что

 

При этом

 

Таким образом,

 

 

, где .

 

Тем самым мы получили разложение функции f (x) по системе функций {einx}. Указанная система функций является ортогональной на сегменте [ − p ; p ], то есть

 

 

.

 

4. Понятие общего ряда Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Тригонометрический ряд Фурье является частичным случаем общего ряда Фурье. Рассмотрим пространство кусочно-непрерывных на сегменте [a, b] функций Q[a, b]. Будем предполагать, что в точке разрыва

 

 

.

 

 

Введём в пространстве Q[a, b] скалярное произведение (свёртку) двух функций,

 

. Имеет место неравенство Коши

 

(f,g)2≤ (f,f) · (g, g).

 

Определение 4. Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу f поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число − норма, || f ||, которая удовлетворяет следующим условиям:

 

1. || f || > 0, если f ≠ q ; || f || = 0, если f = q,

 

2. || l · f || = |l| · || f ||, для любого числа l,

 

3. " f, g Þ ||f + g|| ≤ ||f|| + ||g||.

 

В любом нормированном пространстве можно ввести метрику, т.е. расстояние между двумя элементами, по формуле

 

r (f, g) = || f − g ||.

 

Во всяком евклидовом пространстве можно ввести норму

 

.

 

 

Определение 5. Последовательность элементов евклидова пространства

{yn} называется ортонормированной, если её элементы попарно ортогональны, а норма каждого элемента равна единице.

 

Определение 6. Рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе

 

{yn} называется ряд , где fn= (f, yn). Величины fnназываются коэффициентами Фурье элемента f.

 

Если евклидово пространство имеет конечную размерность N, то система {yn}, состоящая из N ортогональных элементов, норма каждого из которых равна единице, образует ортонормированный базис и любой элемент f такого пространства можно разложить по этому базису

 

 

.

 

В случае бесконечной размерности евклидова пространства актуален вопрос о сходимости ряда Фурье по метрике данного пространства. Назовем величину

 

частичной суммой ряда Фурье.

 

Наряду с Snбудем рассматривать линейные комбинации элементов ортонормированной системы

 

 

.

 

Теорема 3. При фиксированном n из всех сумм вида наименьшее

 

 

отклонение от элемента f по норме данного евклидова пространства имеет частичная сумма

 

 

.

 

 

Это свойство называют экстремальным свойством ряда Фурье.

 

Теорема 4. Для любого элемента f, для любой ортонормированной системы {yn} и для любого n выполняется равенство (тождество Бесселя)

 

Теорема 5. Для любого элемента f, для любой ортонормированной системы {yn} справедливо неравенство (неравенство Парсеваля)

 

 

.