П.10. Случайные процессы

Случайным процессом называется процесс, значение которого при любом значении аргумента является случайной величиной. Обычно – это время.

Пусть с течением времени в случайные моменты происходит некоторое событие . Обозначим число событий, имевших место в интервале . Для определенности начинаем отсчет времени в момент , в который событие не произошло, т.е. .

Важнейшая математическая характеристика такого процесса – это вероятность того, что за время событие произойдет ровно раз:

, где ,

т.е. закон распределения целочисленной случайной величины .

Процесс называется процессом Пуассона (или простейшим потоком событий), если для него выполняются следующие предположения.

1. Процесс является стационарным, т.е. вероятность появления числа событий во временном промежутке , зависит только от длины этого промежутка (не зависит от начала отсчета).

2. Процесс – это процесс без последствий, т.е. вероятность появления событий на любом участке времени длины не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающемся с ним участком.

3. Процесс – это ординарный процесс, т.е. вероятность того, что за малый промежуток времени событие произойдет более одного раза, есть величина более высокого порядка малости по сравнению с .

Для пуассоновского процесса функция имеет вид:

, , (27)

Числовой параметр называется интенсивностью пуассоновского потока, т.е. – это среднее число событий , происходящих в единицу времени.

Задача 9. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: 1) четыре вызова; 2) менее четырех вызовов; 3) не менее четырех вызовов.

Решение.

Случайные события – заказы такси – представляют собой процесс Пуассона .

По условию имеем: интенсивность потока – среднее число заказов в единицу времени – , промежуток времени .

1) Искомая вероятность того, что за минуты поступит ровно вызова можно вычислить по формуле (28). Имеем:

.

2) Событие "поступило менее четырех вызовов" произойдет, если за время мин. наступит одно из следующих несовместных событий: «поступило три вызова» – , «поступило два вызова» – , «поступил один вызов» – , «не поступило ни одного вызова» – . Таким образом, искомую вероятность находим с помощью теоремы сложения вероятностей (1):

3) События "поступило не менее четырех вызовов" и "поступило менее четырех вызовов" противоположны, поэтому искомую вероятность того, что за две минуты поступит не менее 4 вызовов, можно найти по формуле (3):

.

Ответы: 1) ; 2) ; 3)