XXII. п.6. Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или о параметрах неизвестного распределения генеральной совокупности.

Не располагая сведениями обо всей генеральной совокупности, высказанную гипотезу сопоставляют по определенным правилам с выборочными данными и делают вывод о том, можно принять гипотезу или нет. Эта процедура сопоставления называется проверкой гипотезы.

Рассмотрим этапы проверки гипотезы и используемые при этом понятия.

1. Располагая выборочными данными и руководствуясь конкретными условиями рассматриваемой задачи, формулируют гипотезу , которую называют основной или нулевой, и гипотезу , конкурирующую с гипотезой . Гипотезу называют также альтернативной, она является логическим отрицанием гипотезы . Выбор тех или иных нулевых или альтернативных гипотез определяется решаемыми исследователем прикладными задачами.

2. Задается вероятность , которую называют уровнем значимости.

Уровень значимости определяет вероятность так называемой ошибки первого рода, которая совершается при отвержении гипотезы , т.е. принимается конкурирующая гипотеза , тогда как на самом деле гипотеза верна. Вероятность задается заранее малым числом: 0,1; 0,05, 0,001 и т.д.

3. Выбирается статистический критерий проверки гипотезы – . Статический критерий – это случайная величина, закон распределения которой при условии справедливости проверяемой гипотезы известен.

После выбора критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при котором нулевая гипотеза отвергается – критическая область , а другое содержит те значения критерия, при которых гипотеза принимается – область принятия гипотезы. Критическими точками называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области. Правосторонней (левосторонней)называют критическую область, определяемую неравенством ( ). Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами .

4. По результатам эксперимента находят эмпирическое (наблюдаемое) значение статистического критерия . Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают в пользу конкурирующей гипотезы; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают.

5. Результат проверки гипотезы формулируется следующим образом: гипотеза проверена по критерию на уровне значимости и принята (не противоречит имеющимся экспериментальным данным) или отвергнута.

Пример.

Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями по малым выборкам ( )

Пусть имеются две нормально распределенные генеральные совокупности и , характеризуемые генеральными средними и . Для проверки гипотезы из этих совокупностей берутся две независимые выборки объемов и , по которым находят выборочные средние , и исправленные выборочные дисперсии , .

1. Нулевая гипотеза : .

Альтернативная гипотеза : а) ( );

б) .

2. Уровень значимости .

3. Статистический критерий: (22)

Критерий имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

а) При альтернативной гипотезе ( ) критическая область является односторонней и определяется неравенством . Критическая точка определяется по таблице значений распределения Стьюдента, где , .

б) При альтернативной гипотезе критическая область является двусторонней и определяется неравенством . Критическая точка определяется по таблице значений распределения Стьюдента, где , .

4. По формуле (22) определяем эмпирическое значение -критерия.

Гипотеза принимается, если: а) ;

б) .

5. Делается вывод о результатах проверки гипотезы .

Задача 7. Массовую долю (%) оксида меди в минерале определили методом иодометрии и методом комплексометрии. По первому методу получили результаты: 38,20; 38,00; 37,66, а по второму: 37,70; 37,65; 37,55. Проверить, различаются ли средние результаты данных методов на уровне значимости , если известно, что результаты измерений имеют нормальный закон распределения с неизвестными, но равными дисперсиями.

Решение.

Вычисляем для каждого метода числовые характеристики, учитывая, что объем каждой выборки равен :

· выборочные средние значения по формуле (14):

=37,63;

· исправленные выборочные дисперсии по формуле (18):

,

=0,07453;

=0,00583.

Теперь проверим гипотезу о равенстве средних двух совокупностей.

1. Нулевая гипотеза: : .

Альтернативная гипотеза: :

2. Уровень значимости .

3. Проверку гипотезы будем проводить с помощью -критерия, так как выборки маленькие и по условию дисперсии генеральных совокупностей неизвестны, но равны. По таблице значений распределения Стьюдента при и числе степеней свободы находим критическое значение: .

4. Рассчитаем эмпирическое значение -критерия, используя формулу (22):

.

 

Сравним полученное значение с табличным значением . Так как , то гипотеза принимается.

5. Гипотеза о равенстве средних значений двух методов проверена на уровне значимости с помощью -критерия и принята. Следовательно, результаты обоих методов отражают истинное содержание в минерале.

Ответ: гипотеза о равенстве средних проверена на уровне значимости с помощью -критерия и принята.