XXI. п.5. Интервальные оценки

Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок большого объема точность обычно бывает достаточной, то для выборок небольшого объема вопрос точности оценок становится очень важным.

Чтобы получить представление о точности и надежности оценки параметра , используют интервальную оценку параметра.

Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал , который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение параметра , т.е. . Такой интервал называется доверительным, а вероятность – доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Обычно надежность оценки задается заранее величиной, близкой к единице, например: 0,9, 0,95, 0,99 или 0,999.

Границы доверительного интервала и его длина находятся по выборочным данным и поэтому являются случайными величинами. Длина доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки и увеличивается с ростом доверительной вероятности .

Очень часто (но не всегда) доверительный интервал выбирается симметричным относительно несмещенной точечной оценки , т.е. выбирается интервал вида . Число при этом называется точностью оценки.

Так, например, интервальная оценка (доверительный интервал) для генеральной средней исследуемого признака , имеющего нормальное распределение, может быть найдена по формуле:

. (19)

В случае, когда генеральная дисперсия известна (например, это заранее заданная ошибка измерительного прибора), то точность оценки находится по формуле:

, (20)

где – объем выборки, а число определяется из равенства , т.е. по таблице значений функции Лапласа находится значение аргумента , которому соответствует значение функции , равное .

В случае, когда генеральная дисперсия неизвестна, а известна лишь ее оценка – исправленная выборочная дисперсия , то точность оценки находится по формуле:

, (21)

где значение числа определяется по таблице критических точек распределения Стьюдента при доверительной вероятности и числе степеней свободы .

Замечание. Если выборка объема представляет собой набор независимых одинаково распределенных случайных величин, то, согласно центральной предельной теореме, распределение при больших близко к стандартному нормальному. Это позволяет строить доверительный интервал для генеральной средней по формулам (19) и (20) при любом распределении признака, если объем выборки является достаточно большим ( ), при этом в качестве используется ее любая оценка.

Задача 6. По выборке из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака X найти: 1) числовые характеристики выборки – выборочную среднюю, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение; 2) несмещенные оценки для генеральной средней и генеральной дисперсии; 3) доверительный интервал для оценки генеральной средней с надежностью .

	33,2	38,2	43,2	48,2	53,2

Решение.

1. Сначала вычислим числовые характеристики выборки.

Выборочную среднюю найдем по формуле (14).

Учитывая, что объем выборки , получаем:

.

Выборочную дисперсию удобнее вычислять по формуле (16):

.

Выборочное СКО:

.

2. Несмещенной оценкой для генеральной средней является выборочная средняя .

Несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия , которая вычисляется по формуле (17):

.

 

3. Так как генеральная дисперсия неизвестна, а известна лишь ее оценка – исправленная выборочная дисперсия и данная выборка имеет небольшой объем ( ), то доверительный интервал для генеральной средней можно найти, используя формулы (19) и (21).

Значение находим по таблице распределения Стьюдента, где – доверительная вероятность, – объем выборки, - число степеней свободы.

Учитывая, что , , , находим сначала точность оценки по формуле (21):

.

Теперь искомый доверительный интервал определяем по формуле (19):

или .

Ответы: 1. , , ; 2. , ; 3. .