XIV. 1.6. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения, который представляется в виде таблицы:

			…
			…

где в первой строке перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие им вероятности , удовлетворяющие соотношению .

Закон распределения может быть задан графически в виде многоугольника распределения вероятностей, т.е. в виде ломаной, соединяющей точки с координатами для .

Математическим ожиданием или средним значением дискретнойслучайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

. (7)

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

. (8)

Для вычисления дисперсии на практике бывает удобнее использовать другую формулу, которую можно получить из формулы (8) с помощью простых преобразований:

. (9)

Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

. (10)

Задача 4. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,4. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины – числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение.

Случайная величина может принимать 4 значения:

0 – если стрелок промахнулся 3 раза;

5 – если стрелок попал 1 раз при трех выстрелах;

10 – если стрелок попал 2 раза при трех выстрелах;

15 – если стрелок попал 3 раза.

Так как каждый выстрел можно рассматривать, как независимое испытание, в результате которого возможны только два исхода: попадание («успех») или промах («неудача»), то вероятности, соответствующие каждому значению случайной величины, можно найти по формуле Бернулли (5):

.

По условию задачи имеем: число испытаний , вероятность успеха , , значения будут изменяться от 0 до 3. Т.о. имеем:

,

,

,

.о

Следовательно, окончательно закон распределения случайной величины будет иметь вид:

	0,216	0,432	0,288	0,064

 

Построим многоугольник распределения. Для этого по оси абсцисс отложим возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие им вероятности и соединяем точки (x_i, p_i) отрезками прямых. Полученная при этом ломаная линия и есть многоугольникраспределения вероятностей случайной величины .

Рис. 1. Многоугольник распределения вероятностей

 

Рассчитаем числовые характеристики случайной величины .

1. Математическое ожидание вычисляем по формуле (7)

.

2. Дисперсия вычисляется по формуле (9):

.

3. Среднее квадратическое отклонение

.

Ответ. Закон распределения случайной величины :

	0,216	0,432	0,288	0,064

многоугольник распределения – на рисунке 1, , , .