Введение в топологию (задачи)
Елькин А. Г.
Элементы теории множеств
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. Отображение 
определяется формулой 
. 
20. Отображение определяется формулой 
. 
21. Отображение определяется формулой . 
22. Отображение определяется формулой . 
23. Отображение определяется формулой 
. 
24. Отображение определяется формулой 
.
25. Отображение определяется формулой . 
26. Отображение определяется формулой .
Элементы теории ГРУПП
Является ли группой данное числовое множество 
относительно операции а) сложения, б) умножения:
27. 
,
28. 
, где 
,
29. 
, где 
,
30. 
,
31. 
,
32. 
,
33. 
,
34. 
, где 
– множество всех целых чисел, которые делятся на 
.
35. 
,
36. 
.
37. Привести пример числовой группы 3-го порядка.
38. Привести пример числовой группы 2-го порядка.
39. Найти порядок элемента 
в группе 
.
40. Найти порядок элемента 
в группе 
41. Найти порядок элемента 
в группе .
42. Найти порядок элемента 
в группе .
43. Какой порядок может иметь элемент 
в группе, если 
?
44. Какой порядок может иметь элемент в группе, если 
?
45. Какой порядок может иметь элемент бесконечной циклической группы?
46. Какой порядок может иметь элемент циклической группы 6-го порядка?
47. Найти все образующие элементы группы 
.
48. Найти все образующие элементы группы 
.
49. Найти число подгрупп циклической группы шестого порядка.
50. Найти число подгрупп циклической группы третьего порядка.
51. Найти число конечных подгрупп в группе 
.
52. Что можно сказать о числе подгрупп бесконечной циклической группы?
53. Верно ли, что группы 
и 
изоморфны?
54. Верно ли, что группы 
и 
изоморфны?
55. Перечислить все элементы факторгруппы 
.
56. Какой элемент факторгруппы 
играет в ней роль нуля?
Элементы теории МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
57. Расстояние между точками 
и 
на плоскости 
определяется формулой 
. Построить множество всех точек 
, удовлетворяющих условию 
, где 
– начало координат.
58. Расстояние между точками и на плоскости определяется формулой 
. Построить множество всех точек , удовлетворяющих условию , где – начало координат.
59. Найти расстояния между точками 
и 
на плоскости в трех случаях: 1) метрика – евклидова; 2) метрика определяется формулой из задачи 57; 3) метрика определяется формулой из задачи 58.
60. Найти расстояния между точками 
и 
на плоскости в тех же трех случаях, что и в предыдущей задаче.
61. Описать все случаи расположения точек и на плоскости , в которых расстояние между ними будет одним и тем же в любой из трех метрик задачи 59.
62. С помощью построений, сделанных в задачах 57 и 58, провести сравнение трех метрик из задачи 59.
63. Является ли промежуток 
числовой прямой 
полным метрическим пространством?
64. Является ли промежуток 
числовой прямой полным метрическим пространством?
65. Является ли промежуток 
числовой прямой полным метрическим пространством?
66. Является ли промежуток 
числовой прямой полным метрическим пространством?
67. Является ли промежуток 
числовой прямой полным метрическим пространством?
68. Является ли промежуток 
числовой прямой полным метрическим пространством?
69. Какие из промежутков числовой прямой являются полными метрическими пространствами?
70. На плоскости построены графики функций 
. Какие из них являются полными метрическими пространствами?
Элементы теории топологических ПРОСТРАНСТВ
71. Перечислить все открытые связные множества на прямой.
72. Перечислить все замкнутые связные множества на прямой.
73. Гомеоморфны ли отрезок и интервал?
74. Гомеоморфны ли отрезок и окружность?
75. Какие из букв 
гомеоморфны букве 
?
76. Какие из букв гомеоморфны букве 
?
77. Какие из букв 
гомеоморфны букве 
?
78. Какие из букв гомеоморфны букве ?
79. При каких условиях подмножество числовой прямой является компактным?
80. На плоскости построены графики функций . Какие из них являются компактными?
81. Привести пример компактного подпространства пространства , не являющегося связным.
82. При каком дополнительном условии ограниченное множество на плоскости будет компактным?
Эйлерова характеристика. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
Найти эйлерову характеристику
83. поверхности параллелепипеда.
84. треугольной пирамиды.
85. поверхности произвольного выпуклого многогранника.
86. двумерной сферы.
87. отрезка.
88. окружности.
89. цилиндра 
.
90. тора.
91. ручки.
92. диска.
93. листа Мебиуса.
94. края листа Мебиуса.
95. кольца, состоящего из всех точек плоскости 
, координаты которых удовлетворяют неравенству 
.
96. прямоугольного параллелепипеда, в котором пробиты два сквозных отверстия.
97. Привести пример кривой с отрицательной эйлеровой характеристикой.
98. К тору приклеили ручку и три листа Мебиуса. Найти эйлерову характеристику полученной поверхности.
99. В поверхности вырезали две дыры и одну из них заклеили ручкой, а другую листом Мебиуса. Как изменилась ее эйлерова характеристика?
100. Доказать, что кольцо и круг (оба без краевых точек) не гомеоморфны.
Что можно сказать о фундаментальной группе
101. отрезка?
102. окружности?
103. квадрата?
104. кольца?
105. сферы?
106. шара?
107. Какие из пространств в номерах 101 – 106 являются односвязными?
108. Какие из пространств в номерах 101 – 106 являются стягиваемыми?
Элементы теории гомологий
Образуют ли независимое множество вершины
109. трапеции?
110. треугольника?
111. тетраэдра?
112. параллелепипеда?
113. треугольной призмы
114. симплекса?
115. Являются ли точки 
, 
, 
независимыми?
116. Являются ли точки 
и 
независимыми?
Найти барицентрические координаты данной точки относительно независимых точек 
:
117. 
.
118. 
.
119. 
.
120. 
.
121. 
.
122. 
.
123. Найти выпуклое замыкание буквы 
.
124. Найти выпуклое замыкание буквы 
.
125. Сколько нульмерных граней имеет четырехмерный симплекс?
126. Сколько одномерных граней имеет трехмерный симплекс?
127. Сколько граней имеет двумерный симплекс?
128. Сколько граней имеет одномерный симплекс?
129. Найти число криволинейных симплексов в той триангуляции сферы, для которой это число минимально.
130. Найти число криволинейных симплексов в той триангуляции круга, для которой это число минимально.
131. Привести пример симплициальных комплексов 
и 
, для которых несправедливо равенство 
.
132. и – симплициальные комплексы. Найти (необходимое и достаточное) условие, при котором справедливо равенство .
133. 
134. 
135. Найти группы гомологий трехмерного симплекса.
136. 
Двумерный комплекс имеет вид . Найти его группы гомологий.
137. Найти группы гомологий буквы 
.
138. Найти группы гомологий буквы 
.