Вырожденные матрицы, плохо обусловленные системы уравнений

 

Если матрица А вырожденна, т. е. DetA=0, то

1. Система уравнений не совместна, т. е. не имеет ни одного решения.(рис.13)

 

Пример. 4x+6y=10

2x+3y=6

 

y

 

2

 

 

3 x

 

 

Рис 13

 

 

2. Система имеет бесконечное множество решений.(рис.14)

 

4x+6y=12;

2x+3y=6.

 

y

 

f₂ f₁

3 x

 

Рис . 14

 

 

3. Если определитель системы близок к нулю, т. е. c точки зрения практических вычислений могут существовать почти вырожденные системы, при решении которых получаются недостоверные значения неизвестных.

Пример.

5x+7y=12; (2.2)

7x+10y=17.

 

Det=50-49=1.

 

 

Решение системы x=1, y=1, но в то же время при x=2.45, y=0 получим:

5x+7y=12.075

7x+10y=16.905

т. е. c геометрической точки зрения две прямые близки друг к другу. Итерационный метод, в результате, может дать недостоверный результат.(рис.15)

 

 

y

 

1

1 2.45 x

 

 

Рис. 15

 

 

Система (2.1) называется плохо обусловленной системой, если определитель системы det<1.