Пример (метод половинного деления)

Уточним корень уравнения на отрезке [3;4] методом половинного деления. Для демонстрации этого метода используем табличный процессор Exel (рис. 11). В столбце А вычисляются координаты середины отрезков, в столбце С – координаты другого конца отрезка, удовлетворяющего условию f(A_i)*f(C_i)<0, в столбце В вычисляется значение функции в середине отрезка. В столбце D проверяется условие окончания итераций – если длина отрезка меньше заданной точности – продолжать итерации, в противном случае записать в ячейку D_n – 0. Значение корня получается в ячейках А_n и С_n.

 

 

	A	B	C	D
	Деление отрезка пополам
	0,001
	Вычисление середины отрезка	Вычисление функции	Выбор левой либо правой половины	Проверка условия окончания итераций
		=exp(A4)-3*A4^2+3
	=(A3+C3)/2	=exp(B4*B5<0;A4;C4)	=если(B4*B5<0;A4;C4)	=если(abs(A5-C5)<(A2;0;abs(A5-C5))
	Строку 5 копировать до появления "0" в ячейке D(n)
	…	…	…	…
N	Значение корня 3,5498		Значение корня 3,5488

Рис 11

 

В результате вычислений получим таблицу следующего вида (таблица 2).

Таблица 2

 

	A	B	C	D
	Деление отрезка пополам
	0,001
	Вычисление середины отрезка	Вычисление функции	Выбор левой либо правой точки	Проверка условия и сходимость
		-3,914
	3,5	-0,634		0,5
	3,75	3,333	3,5	0,25
…	…	…	…	…
n	3,5498	0,003	3,5488

 

Пример (метод Ньютона )

Уточним 1 корень уравнения е^x-3*x^2+3=0 методом Ньютона на отрезке [-2, 1]. Найдем первую и вторую производные функции f(x)=e^x-3x^2+3:

f'(x)=e^x-6x

f''(x)=e^x-6.

Расчет можно произвести в электронных таблицах (рисунок 12):

- в ячейку A1 запишем значение правого конца отрезка;

- в ячейку A2 – значение левого:

- в ячейках В1:В2 вычисляются значения функции на концах отрезка;

- в ячейках С1: D2 – значения первой и второй производной;

- в ячейках E1:E2 проверяется неравенство f(x0) f*(x0) >0, если оно выполняется, то выбор начальной точки х0 верен;

- для начального приближения выберем точку х= -2 (f(-2)*f '' (-2)>0). Итерации производим в Excel (рисунок 12).

	A	B	C	D	E
	-2	=exp(A1)-3*A1^2+3	=exp(A1)-6*A1	=exp(A1)-6	=B1*D1
		=exp(A2)-3*A2^2+3	=exp(A2)-6*A2	=exp(A2)-6	=B2*D2
	Метод Ньютона
	=A1-B1/D1
	=A4-(exp(A4)-3*A4^2+3/exp(A4)-6*A1)	=если(abs(A5-A4)<0;A5;0)
	Копировать строку 5 в строку 6 и т.д. до получения значения корня в столбце «В», либо прекратить итерации при достижении предельного числа N=10

Рис . 12

 

Приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

 

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разделяются на две группы: точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы, и приближенные (итерационные) методы. Рассмотрим метод итерации и метод Зейделя.

Для решения систем линейных уравнений итерационными методами необходимо, чтобы исходная система уравнений отвечала определенным условиям, иначе она должна быть приведена к специальному виду.

Исследование сходимости итерационных методов требует знаний из алгебры матриц.