Введение в математический анализ.
Производная и ее приложения.
6.2.31–6.2.40.Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
6.2.31. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6.2.32. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6.2.33. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6.2.34.а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6.2.35. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6.2.36. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6.2.37. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6.2.38. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6.2.39. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6.2.40. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6.3.11–6.3.20.Задана функция у=f (х). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.
6.3.11. 
6.3.12. 
6.3.13. 
6.3.14. 
6.3.15. 
6.3.16. 
6.3.17. 
6.3.18. 
6.3.19. 
6.3.20. 
7.1.1–7.1.10.Найти производные 
данных функций.
7.1.2. 
в) 
7.1.3. а) 
б) y = arcctg [exp(5x)] ;
в) x = sin23t, y = cos23t .
7.1.4. 
в) x = t4 + 2t, y = t2 + 5t .
7.1.5. 
в) x = t – ln sint, y = t + ln cost .
7.1.6. a) 
б) y = exp(cos3x) .
в) x = tg t , 
7.1.7. a) 
б) y = 3x exp(-x-2) ;
в) x = t2 – t3 , y = 2t3 .
7.1.8. a) y = ln cos2x – ln sin2x ; б) 
в) x = cos3t , y = sin3t .
7.1.9. a) 
б) 
в) x = 3sint, y = 3cos2t .
7.1.10. 
в) x = 2t – t2 , y = 2t3 .
7.2.51–7.2.60.Подобрать соответствующую функцию и найти ее экстремум.
7.2.51.Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести ?
7.2.52.Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?
7.2.53.Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей ?
7.2.54.Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R ?
7.2.55.Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R ?
7.2.56.При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность ?
7.2.57.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света ?
7.2.58.В точках A и B, расстояние между которыми равно a, находятся источники света соответственно с силами F1 и F2 . На отрезке AB найти наименее освещенную точку M0 .
Замечание. Освещенность точки источником света силой F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света: 
.
7.2.59.Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка наибольшее сопротивление на изгиб ?
Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины x ее поперечного сечения на квадрат его высоты y: 
.
7.2.60.Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна p1 руб., а стенок – p2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?
7.3.21–7.3.30.Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f (x) для 
и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [a; b].
7.3.21. а) 
б) [–3; 3] .
7.3.22. а) 
б) [–1; 1] .
7.3.23. а) 
б) [–2; 2 ] .
7.3.24. а) 
б) [–2; 2] .
7.3.25. а) 
б) [ 1; 4] .
7.3.26. а) 
б) [ 0; 1] .
7.3.27. а) 
б) [ 1; 9] .
7.3.28. а) 
б) [–1; 1] .
7.3.29. а) 
б) [–2; 2] .
7.3.30. а) 
б) [–2; 2] .