Вынужденные колебания системы с несколькими степенями свободы. Гасители колебаний

Система уравнений движения при наличии возмущающих воздействий имеет вид:

, (7.21)

где вектор-столбец обобщенных сил.

Разложение по формам свободных колебаний (метод главных координат). Если обобщенные силы являются произвольными функциями времени, то аналитическое решение систем (7.21) весьма затруднительно. В этом случае можно применить метод разложения по формам свободных колебаний. Ищем решение в виде суммы

, (7.22)

где собственные формы, удовлетворяющие системе .

Подставим (7.22) в систему (7.21): . Умножая последовательно эту систему слева на с учетом ортогональности форм

получим уравнений: , или

: .

Решения этих неоднородных уравнений, как известно, складываются из решения однородного уравнения и решения неоднородного, которое можно получить с помощью интеграла Дюамеля:

Гармоническая обобщенная сила. Если вектор-столбец обобщенных сил имеет вид , то частное решение системы (7.21) можно найти в виде : , откуда получаем систему линейных уравнений относительно амплитудного вектора :

Решение этой системы можно получить, например, с помощью формулы Крамера: , где определитель системы; а определитель, в котором - й столбец заменен столбцом .

Рассмотрим, например, динамический гаситель колебаний (рис. 7.10).

Рис. 7.10. Динамический гаситель

Движение тела массы , закрепленного на упругой опоре жесткости , под действием силы , описывается уравнением

частное решение которого (чисто вынужденные колебания) имеет вид:

где квадрат собственной частоты.

Сила моделирует, например, причину колебаний корпуса двигателя ввиду неуравновешенности его движущихся частей.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (амплитудно-частотная характеристика) показана на рис. 7.11,а.

Рис. 7.11. Зависимости амплитуды от частоты

а)

б)

Прикрепим к телу груз

на пружине жесткостью

. Подставляя кинетическую и потенциальную энергии системы

в уравнения Лагранжа

получим

Отыскивая частное решение в виде , получим систему:

откуда ,

где определитель системы .

Из выражения для видно: если массу и жесткость пружины «дополнительного» тела, называемого динамическим гасителем, подобрать так, чтобы , то амплитуда колебаний «основного» тела, на которое действует сила, будет равна нулю: ; это невозможное для статических задач свойство динамических задач называется антирезонансом (рис. 7.11,б).

Заметим, что динамический гаситель колебаний, позволяющий уменьшить вибрацию вблизи номинальной рабочей частоты , превращает защищаемый механизм в систему с двумя степенями свободы и соответственно с двумя собственными резонансными частотами и , которые определяются из

уравнения , где (гаситель настроен на частоту Это уравнение можно записать в виде

, где .

Корни этого уравнения лежат по разные стороны от рабочей частоты и собственной резонансной частоты (см. рис. 7.11,б), поэтому при выводе механизма на рабочую частоту возникает проблема перехода через резонансную частоту ; кроме того, крупным недостатком является гашение колебаний вблизи фиксированной рабочей частоты.