Решение уравнений с двумя переменными

как квадратных отно­сительно одной из переменных

При решении уравнений методом сведения к квадратному уравнению необхо­димо рассмотреть и оценить дискриминанты этих уравнений.

Задача 1. Решите в целых числах .

Решение. Если попытаться решить данное уравнение методом раз­ложения на множители, то это достаточно трудоемкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно : . Корни данного уравнения .

Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда дис­криминант этого уравнения равен нулю, т. е. , отсюда . Если , то .

Ответ: .

Обобщение: Эту и последующие задачи можно привести к об­щему виду (1) или (2) где - любые выражения, а именно: в (1) выражения зави­сят от , в (2) – зависят от .

Например,

Задача 2. Решите в натуральных числах .

Решение. Перепишем уравнение в виде . Данное уравнение является квадрат­ным относительно переменной , тогда

. Уравне­ние имеет корни, если , т.е. . Отсюда (*).

Так как , то условию (*) не удовлетворяет ни одно значение . Значит, решений в натуральных числах нет.

Ответ: решений в натуральных числах нет.

Задача 3. Решите уравнение .

Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относи­тельно с коэффициентами, зависящими от ,

Найдем четверть дискриминанта Отсюда следует, что уравнение имеет решение только то­гда, когда = 0, отсюда следует , затем находим .

Ответ: .

Задача 4. Решите в целых числах .

Ре­шение. Запишем уравнение в виде , .

Решаем это уравнение относительно : .

Так как - целое число, то должно быть це­лым числом. Значит, дискриминант уравнения должен быть квадратом це­лого числа, т. е. , где ,

(*)

(**)

Из равенств (*) и (**) следует, что .

Видно, что при любом и .

Ответ: где

Это решение показывает, что уравнения можно рассматривать как квадратные не только относительно одной из своих переменных, но и относительно какого-либо выражения.

Творческое задание: Сконструировать авторские задачи по данной теме.