Зависимость кинетического момента от выбора опорной точки. Кинетический момент твердого тела. Тензор инерции
Хотя закон баланса кинетического момента сформулирован в инерциальной системе отсчета относительно неподвижной точки, сам кинетический момент может вычисляться и относительно подвижной точки.
Рассмотрим любое (не обязательно твердое) тело и две произвольные, может быть подвижные, точки M и N (рис. 5.5,a).
a) |
Рис. 5.5. Замена опорной точки |
B |
A |
N |
M |
б) |
Заменив = , получим:
. (5.14)
Рассмотрим движение твердого тела в любой (необязательно инерциальной) системе отсчета. Найдем кинетический момент относительно какой–либо точки В, принадлежащей телу (т. е. движущейся вместе с телом) (рис. 5.5,б).
Подставим в определение (5.12) основную формулу кинематики твердого тела , взяв за полюс точку В:
.
Первое слагаемое в соответствии с определением центра масс
имеет вид .
Во втором слагаемом раскроем двойное векторное произведение:
.
Независящий от переменных интегрирования вектор угловой скорости вынесем из интеграла со знаком скалярного умножения, представив , где, напомним, единичный тензор, представимый в ортонормированном базисе в виде . Тогда
.
Описывающий распределение массы вокруг точки В интеграл называется тензором инерции тела в точке В (или относительно точки В):
(5.15)
Таким образом, кинетический момент твердого тела относительно принадлежащей ему точки, называемый собственным кинетическим моментом, имеет вид:
. (5.16)
Формула упрощается, если в качестве полюса В выбрать центр масс; тогда и
, (5.17)
где тензор инерции тела относительно центра масс называется центральным. Если тело вращается вокруг неподвижной точки В, то
. (5.18)
Для произвольного движения твердого тела наиболее удобно использовать в формуле (5.14) собственный кинетический момент относительно центра масс:
. (5.19)