Сурет 9.3.

Бұл жүйені қарапайым дифференциалдық теңдеу секілді шешу қиын, өйткені ол Коши дің дұрыс формасына келтірілмеген. Бірақ соңғы дифференциалды - алгебралық жүйемен жұмыс істеп шешуге болады. Шшешімнің алгоритмі g_lk —Грин функциясының кестелік аналогында жатыр. Кері матрица — оператордың екінші туындысының кестелік аппроксимациясы. Толығырақ [19.1].

9.2. Газдық динамиканың есептері үшін вариациялық сұлбалар.

Көпөлшемді есептер үшін қызығырақ айырымдық сұлбалар алынады. Әсіресе вариациялық көзқарас нәтижелі болып келеді.

Келесі мысалды қарастырайық. Шексіз газ толтырылған вакуумде облысы жатыр.(9.3 суретте). Газдың массасы — тығыздық ортасы.

Қозғалыс жүйесі келесі теңдеуге бағынады:

Бұл теңдеулер лагранждың айнымалыларында көрсетілген. Толық туынды былай алынғанын қайталап кетейік:

Мұнда барлық белгілеулер дәстүрлі, через арқылы қозғалыс ортасының жылдамдығы белгіленеді, ал V арқылы — элемент көлемі. Ортаның қозғалысы үшін лагранжиан теңдеуін жазамыз, оны жүйе бөлігі деп елестетіп, кейін бөлік санын шексіздікке ұмтылдырамыз.

Ортаның қозғалысы функционал қозғалысының минимумы болу керек.

Массаның сақталу заңы бойынша . S вариациясын табамыз:

Термодинамиканың бірінші бастамасына сай адиабатикалық процесстің жорамалдығы:

Кинематикалық қатынастарды қолдана отырып

Екенін аламыз

Онда

траекториясының тәуелсіз вариациясы 0 ге тең болады егер, және . Сондай – ақ , Эйлердің газдық динамакасының теңдеулер жүйесінің шешімінің лагранжиан вариациясы 0 ге тең.