Примеры решения задач

Задача 1. Сила тока в проводнике изменяется за время от t₁ = 3 c до t₂ = 7 с по закону I = At²+ B, где А = 0,1 А/с², В = 2 А. Определить заряд, прошедший по проводнику.

q – ?	Решение: Сила тока , отсюда . Полный заряд, прошедший по проводнику за время от t₁ = 3 c до t₂ = 7 с: . Произведем вычисления: Ответ:q = 18,5 Кл.
I = At²+ B А = 0,1 А/с² В = 2 А t₁ = 3 c t₂ = 7 с

Задача 2. Определить плотность тока, если за t = 2 c через проводник сечением S = 1,6 мм² прошло N = 2·10¹⁹ электронов.

J – ?	Решение: Плотность тока определяется по формуле . Сила тока
t = 2 c S = 1,6 мм² N = 2·10¹⁹ е = 1,6·10^–19Кл

отсюда получаем

Произведем вычисления:

Ответ: j = 10⁴ А/м².

Задача 3. По медному проводнику сечением S = 0,8 мм² течет ток I = 80 мА. Найти среднюю скорость упорядоченного движения электронов <V> проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Молярная масса меди μ = 63,5 г/моль.

<V> – ?	Решение: Плотность тока может быть определена по формуле , (1) с другой стороны, плотность тока связана со скоростью упорядоченного движения электронов формулой . (2) Приравнивая эти выражения, получим . откуда (3)
S = 0,8 мм² = 0,8·10^–6 м² ρ = 8,9 = 8,9·10³кг/м³ μ = 63,5·10^–3кг/моль

Найдем концентрацию свободных электронов n. Плотность меди может быть определена по формуле

, (4)

где V₀ = 1 м³, m_а – масса атома меди

, (5)

где N_A – число Авогадро.

С учетом (5) формула (4) запишется в виде

откуда

. (6)

Подставим (6) в формулу (3), получим

Ответ: ρ = 7,4·10^-6 м/с.

Задача 4. В цепи (рис. 7) амперметр показывает силу тока I = 1,5 А. Сила тока I₁через сопротивление R₁ равна 0,5 А. Сопротивление R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом. Определить сопротивление R₁, а также силу токов I₂ и I₃, протекающих через сопротивление R₂ и R₃.

R₁ – ? I₂ – ? I₃ – ?	Решение: Рис. 8. Для узла О запишем первое правило Кирхгофа: I₁+ I₂+ I₃= I . (1)
I = 1,5 А I₁=0,5 А R₂= 2 Ом R₃= 3 Ом

Сопротивления R₁, R₂ и R₃ соединены параллельно, поэтому напряжения на них одинаковы:

I₁R₁ = I₂R₂, (2)

I₂R = I₃R₃. (3)

Решим систему уравнений (1) – (3) относительно I₂, I₃ и R₁.

Из (1) выражаем I₂ :

I₂ = I – I₁– I₃ (4)

и подставляем в (3)

(I – I₁– I₃)R₂= I₃R₃ . (5)

Из уравнения (5) находим I₃ :

Из уравнения (4) вычисляем I₂:

I₂= 1,5 – 0,5 – 0,25 = 0,75A.

Из уравнения (2) находим R₁:

Ответ: I₂= 0,75 А, I₃= 0,25 А, R₁ = 3 Ом.

Задача 5. Когда к источнику тока подключили резистор сопротивлением R₁ = 5 Ом, то сила тока стала I₁ = 1 А, а когда подключили резистор сопротивлением R₂ = 15 Ом, то I₂ = 0,5 А. Определить ЭДС источника тока, его внутреннее сопротивление и ток короткого замыкания.


ε – ? r – ? I_кз – ?	Решение: Дважды запишем закон Ома для полной цепи: (1) Решаем систему относительно r и ε:
R₁= 5 Ом R₂= 15 Ом I₁= 1А I₂= 0,5 А

(2)

Отсюда получаем

Зная величину внутреннего сопротивления r, найдем ЭДС источника тока, используя, например, первое уравнение системы (2):

Ток короткого замыкания

Ответ: ε = 10 В, r = 5 Ом, I_кз = 2 А.

Задача 6. В схеме (рис. 9): R₂ = 3 Ом, R₁ = R₃ = 6 Ом, R₄ = 4 Ом, U = 12 В. Найти показание амперметра.

Рис. 9

I – ?	Решение: Найдем общее сопротивление цепи. Сопротивления R₂ и R₃ соединены параллельно, их можно заменить сопротивлением R₂₃: .
R₂= 3 Ом R₁= R₃= 6 Ом R₄= 4Ом U = 12 В

Последовательное соединение R₂₃ и R₄ заменяем сопротивлением R₂₃₄:

R₂₃₄= R₂₃+ R₄;

R₂₃₄= 2+4 = 6 Ом.

Оставшееся параллельное соединение R₁ и R₂₃₄ можно заменить сопротивлением R₁₂₃₄:

;

Теперь схема приняла вид

Рис. 10

Ток через амперметр

; .

Ответ: I = 4 А.

Задача 7. В схеме, изображенной на рис. 11, ε₁ = 1 В, ε₂ = 1,3 В, r₁ = 3 Ом, r₂ = 5 Ом и R = 7 Ом. Найти разность потенциалов между точками А и В, В и С, С и А.

Рис. 11

φ_А– φ_В – ? φ_В– φ_С – ? φ_С– φ_А – ?	Решение: Так как источники подключены последовательно одноименными полюсами, то по закону Ома для полной цепи , . Разность потенциалов:
ε₁= 1 В ε₂= 1,3 В r₁= 3 Ом r₂= 5 Ом R = 7 Ом

Ответ: φ_А− φ_В = - 0,14 В; φ_В− φ_С = 1,2 В; φ_С− φ_А = - 1,06 В.

Задача 8. Определить сопротивление мотка стальной проволоки диаметром d = 1 мм. Масса проволоки 300 г.

R – ?	Решение: Сопротивление проволоки , (1) где S - площадь поперечного сечения;
d = 1 мм = 0,001 м ρ₁= 1,5·10^–8Ом·м ρ₂= 7,8·10³кг/м³ m = 300 г = 0,3 кг

. (2)

Объем проволоки равен объему цилиндра с основанием S и высотой l

V=S·l . (3)

Масса проволоки

m=V·ρ₂=S·l ρ₂, (4)

отсюда

. (5)

Тогда ;

Ответ: R = 9,4 Ом.

Задача 9. Вольфрамовая нить электрической лампы при температуре t₁ = 2000 ^oC имеет сопротивление R₁ = 204 Ом. Определить ее сопротивление при температуре t₂ = 20 ^oC. Температурный коэффициент сопротивления вольфрама α = 4,6·10^–3К^–1.

R₂ – ?	Решение: Учитывая зависимость сопротивления R от температуры t, запишем систему уравнения для двух температур R₁ = R₀(1 – αt₁); (1) R₂ = R₀(1 – αt₂). (2)
R₁= 204 Ом t₁= 2000 ^oC t₂= 20 ^oC α = 4,6·10^–3 К^–1

Поделим одно уравнение на другое:

откуда

;

Ответ: R₂ = 20 Ом.

Задача 10. На концах медного провода длиной l = 5 м поддерживается напряжение U = 1 В. Определить плотность тока в проводе.

j – ?	Решение: Закон Ома в дифференциальной форме для однородного участка цепи . Напряженность электрического поля в проводе ,
l = 5 м U = 1 В ρ=1,7·10^–8 Ом·м

где U – напряжение, поддерживаемое на концах проводника; l – длина провода.

Проводимость

тогда ;

Ответ: j = 1,18·10⁷ А/м².

Задача 11. В цепи, изображенной на рис. 12, найти токи через сопротивления R₁= 2 Ом, R₂= 4 Ом, R₃= 2 Ом. ЭДС источников тока равны соответственно ε₁= 1 В, ε₂= 3 В, ε₃= 5 В. Внутренними сопротивлениями источников пренебречь.

Рис. 12.

I₁ – ? I₂ – ? I₃ – ?

Решение: Для решения задачи используем правила Кирхгофа. 1. Возле каждого сопротивления указываем величину и направление тока (направление выбираем произвольно); 2. Запишем первое правило Кирхгофа для узла А I₁+I₂+ I₃= 0; (1) 3. Цепь состоит из двух контуров, обозначенных а и б. Для контура а второе правило Кирхгофа при выбранном направлении обхода по часовой стрелке имеет вид I₁R₁ – I₂R₂ = –ε₁ – ε₂. (2)