Модель арбитражного ценообразования

САРМ явилась выдающимся достижением трех независимых исследователей: У. Шарпа (1964), Дж. Линтнера (1965) и Ж. Моссина (1966). Она объединила гипотезу эффективного рынка (ЕМН) и математическую модель теории портфеля Г. Марковица в модель инвесторского поведения, основанную на рациональных ожиданиях в рамках общей концепции равновесия.

Альтернативная модель ценообразования на рынке финансовых активов была разработана в 1976 г. Стефаном Россом (Stephen Ross). Эта теория известна как теория арбитражного ценообразования (Arbitrage Priccing Theory, APT) и является менее сложной, чем САРМ, поскольку основывается на меньшем числе предположений. Модель САРМ требует выполнения большого числа предположений, включая предположения, сделанные Г. Марковицем при разработке им базовой стохастической модели, например, о том, что каждый инвестор выбирает оптимальный портфель, используя кривые безразличия, учитывающие ожидаемый доход и стандартное отклонение.

Главным предположением теории APT является то, что каждый
инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности
своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, способствующим
реализации этой возможности, является арбитражный портфель

(arbitrage portfolio), который не требует дополнительных ресурсов инвесторов, нечувствителен к каким-либо факторам и обладает положительной ожидаемой доходностью. Более того - это портфель, не требующий вложения средств ни при каких обстоятельствах и приносящий положительный доход при определенных условиях. Второе предположение состоит в том, что инвесторы ведут себя рационально, т.е. предпочитают больший доход меньшему. Таким образом, арбитражная теория оценки не выдвигает никаких требований к форме функции полезности, кроме ее монотонности и вогнутости.

Предположим, что существует единственный фактор, влияющий на ожидаемую доходность финансовых активов - темп роста промышленного производства. Тогда доходность любой ценной бумаги можно представить в виде следующей однофакторной модели

$i=H;+b_iF_l+E_i

где £, - случайная величина доходности /-го актива.

/и_:. - ожидаемая доходность;

F. - значение фактора, общее для всех ценных бумаг, которым i

данном случае является предсказанный темп роста промышленной производства;

е₍. - случайная ошибка.

В уравнении (4.9) показатель Ь. является чувствительностью (sensitivity) ценной бумаги / к значению фактора F_t ■

Предположим, что инвестор обладает акциями трех видов и текущая рыночная цена каждого актива равна 4000000. Текущая стоимость инвестированного капитала W_Q равна 12000000. Акции имеют следующие ожидаемые доходности и чувствительности:

/ //, b_t

Акция 115 0,9

Акция 2 21 3,0

Акция 3 122 1,8 Арбитражем (arbitrage) называется получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковые продукцию, ценные бумаги, валюту. Арбитраж широко распространен в инвестиционной практике и состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене с одновременной покупкой такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене, или наоборот.

Сущность арбитража проявляется при рассмотрении различных цен на определенную ценную бумагу. "Почти арбитражные" возможности могут существовать у похожих ценных бумаг или портфелей. Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно, например, в результате анализа общих факторов, влияющих на курс ценных бумаг.

Факторная модель исходит из того, что ценные бумаги и портфели с одинаковыми чувствительностями к фактору ведут себя одинаково, за исключением внефакторного риска - составляющей общего риска по ценной бумаге, которая не связана с воздействием общих факторов и поэтому может быть устранена путем диверсификации (nonfactor risk). Поэтому ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае имелись бы "почти арбитражные" возможности. Но в силу невозможности арбитража в условиях равновесного рынка это является невозможным. Как только такие

вида на сумму 2100000 (х, =-0,175 12000000 = -2100000). Этот портфель не требует'дополнительных инвестиций, не имеет факторного риска - рыночный компонент риска, часть общего риска по данной ценной бумаге, связанная с изменением общих факторов рынка и не поддающаяся уменьшению за счет диверсификации (factor risk), и обладает положительной ожидаемой доходностью.

Покупка и продажа ценных бумаг на рынке будет продолжаться до тех пор, пока все арбитражные возможности не будут исчерпаны. В этом случае существует близкая к линейной зависимость между ожидаемой доходностью и чувствительностями:

где Я₀ и Я,- константы.

Уравнение (4.10) является уравнением ценообразования для финансового актива в модели APT, когда доходы генерируются одним фактором.

В данном примере одним из возможных равновесных сочетаний

является Д₍₎ =8 и Я, =4. Следовательно, уравнение ценообразования имеет вид

В результате мы приходим к следующим равновесным значениям ожидаемых доходностей для акций всех трех видов:

ц. =8+ (4x0,9) = 11,6%, ц, =8 + (4хЗ,0)= 20,0%,

//, =8 + (4х1,8) = 15,2%.

В ситуации равновесия ожидаемая доходность любой ценной бумаги является линейной функцией от чувствительности ценной бумаги к фактору Ь..

На рис. 29 приведено графическое решение уравнения (4.10). Любая ценная бумага, для которой ожидаемая доходность и чувствительность к фактору лежат вне прямой линии, будет, по теории APT, неверно оцененной бумагой, что предоставит возможность инвестору сформировать арбитражный портфель (например, как в случае с ценной бумагой и ).

Рис. 29. Линия оценки финансовых активов в модели APT

 

 

Рассмотрим, какова интерпретация констант Я₀ и Я,, участвующих

в уравнении ценообразования (4.10). Если существует безрисковый актив, то ставка доходности такого актива является постоянной величиной и, следовательно, этот актив не чувствителен к фактору. Из уравнения (4.10) следует, что

/',■ = К

для любого актива, имеющего h_j = 0 . В случае безрискового актива также известно, что /.(, = //„, следовательно,

К = /'о ■ Таким образом, имеем:

Следовательно, Я, является ожидаемой избыточной доходностью (ожидаемой доходностью сверх безрисковой ставки) портфеля, имеющего единичную чувствительность к фактору. Поэтому Я, называют премией за факторный риск (factor risk premium) - премия за риск по данному фактору - избыточная доходность портфеля, имеющегс единичную чувствительность к данному фактору и нулевую чувствительность ко всем остальным факторам.

Таким образом, вторая версия уравнения ценообразования APT имеет вид:

/',=/'„ +(//,-//„)/>,-. (4.12)

Так, в рассматриваемом нами примере //„=8% и

Я, = (//, - /л₀) = 4% , следовательно, получаем ^ = 12% . Это означает,

что ожидаемая доходность портфеля с единичной чувствительностью к первому фактору равна 12%.

Рассмотрим ситуацию, когда доходы генерируются по однофакторной модели и фактором выступает рыночный портфель. Тогда /и соответствует ожидаемой доходности рыночного портфеля и Ь. означает коэффициент бета акции / по отношению к рыночному портфелю. Если же доходы генерируются по однофакторной модели, но фактор не является рыночным портфелем, то ц соответствует ожидаемой доходности портфеля с единичной чувствительностью к фактору, а Ь- означает чувствительность акции / по отношению к фактору.

Таким образом, поскольку САРМ справедлива, то ожидаемая доходность /-й ценной бумаги связана и с ее коэффициентом бета, и с чувствительностью

А', =/'о+(/'„,-А'о)А>„>

/',■=/'<> + (л'₍ — Л'о) А-.

-1то позволяет сделать вывод о взаимной связи коэффициентов бета и нувствительности.

Эта взаимосвязь выражается соотношением:

где cov(F_t, ц_т ) - ковариация между фактором и рыночным портфелем: <т - дисперсия доходности рыночного портфеля.

Если фактором является промышленное производство, то уравнение (4.13) означает, что коэффициент бета каждой ценной бумаги равен константе, умноженной на чувствительность ценной бумаги к промышленному производству. Эта константа будет положительным числом, если промышленное производство и доходность рыночного портфеля положительно коррелированы, и наоборот, константа будет отрицательной, если корреляция отрицательная.

Если предположения и APT с одним фактором, и САРМ выполнены, то должно выполняться следующее соотношение

Сама по себе модель APT ничего не говорит о размере премии Я,

за факторный риск. Однако, если модель САРМ справедлива, то эта теория может дать некоторую информацию относительно величины премии на основании уравнения (4.14). Если фактор положительно коррелирован с рыночным портфелем, то ожидаемая доходность ценной бумаги будет положительной и чем больше чувствительность ценной бумаги к этому фактору, тем больше ее ожидаемая доходность, следовательно, ожидаемая доходность ценной бумаги является положительной функцией ее чувствительности к этому фактору. Если фактор отрицательно коррелирован с рыночным портфелем, то ожидаемая доходность ценной бумаги будет отрицательной функцией чувствительности ценной бумаги к этому фактору, т.е. при увеличении чувствительности ценной бумаги к фактору ее ожидаемая доходность будет уменьшаться.

В общем случае модель APT предполагает, что доходы генерируются по многофакторному варианту, с числом факторов больше двух

£,. =/./,.+ b_j, Z⁷! + 1г ₂F₂ +... + b_iN F_N + s_i,

где F_n (n = l,...,N) - случайная величина, представляющая собой

отклонение от среднего уровня п -го фактора на доходность; b_jn -коэффициент, характеризующий влияние п -го фактора на доходность / -го актива.

Согласно многофакторной модели APT, если невозможен арбитраж, ожидаемые доходности активов определяются законом:

/1, = Я_(| + Я,/), + X₂b_i2 +... + X_Nb_iN

Наиболее сложная проблема для тестирования и практически использования арбитражной теории оценки заключается в определен факторов, влияющих на цены финансовых активов. Во многих эмпирических исследованиях выделят следующие факторы:

- прирост промышленного производства;

- прирост ожидаемой инфляции;

- неожиданная инфляция;

- премия за риск, определяемая как разница в доходности меж' рискованными долговыми обязательствами и государственным облигациями;

- разница в доходности между краткосрочными и долгосрочным обязательствами.

В большинстве случаев исследования свидетельствуют, что арбитражная теория оценки более точно, чем САРМ, объясняет колебания цен и показателей доходности финансовых активов.

Среди теоретических моделей последних десятилетий в облает исследования финансовых рынков следует отметить модель Ингл (Engl, 1982) авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH; В основу этой модели положено утверждение о том, что рыночна волатильность зависит от своих предыдущих уровней, т.е. высоки! уровни волатильности являются следствием ее высокого уровня з; предшествующие временные периоды, низкая волатильность - низко£ волатильности в предшествующие периоды. Статистическа; наглядность, продемонстрированная Инглом и Ле Бароном (Le Baron 1990) среди прочих факторов, свидетельствует в пользу семействе моделей ARCH. ARCH также дает утолщение хвостов кривых вероятностных распределений, как это представлено на рис. 7, поэтому она приобрела наибольшее влияние на выбор оценок и технические правила биржевой торговли. Однако методы управления портфелем финансовых активов не претерпели заметного изменения под влиянием ARHC, за исключением осознания того, что стандартное отклонение а не является стандартной мерой рискованности финансовых активов, во всяком случае за пределами коротких промежутков времени.